Đáp án: b) $d(M,(SBD))=\dfrac{{a\sqrt {10} }}{10}$

 

Giải thích các bước giải:

Gọi O là tâm hình vuông. Kẻ AH vuông góc với SO tại H. Gọi E là giao điểm của AM và SO.

a) Ta có:

Tam giác SBD cân tại S vì $\Delta SAB=\Delta SAD (c.g.c)\to SB=SD\to SO\perp SD$

$BD\perp SA; BD\perp AC\to BD\perp (SAC)\to BD\perp AH$

$(SAC)\cap (SBD)=SO$

$((SAC),(SBD))=(AH,BD)=90^o$(Do $BD\perp AH$) (đpcm)

b) Ta có:

Ta có: $AH\perp SO; AH\perp BD\to AH\perp (SBD)\to d(A,(SBD))=AH$

Tam giác SAC có: 2 trung tuyến AM, SO và $AM\cap SO=E$

Suy ra E là trọng tâm tam giác SAC $AE=2ME \to d(M,(SBD))=\dfrac{1}{2}.d(A,(SBD))=\dfrac{AH}{2}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{O^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{AC}}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{5}{{2{{\rm{a}}^2}}}\\
 \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}
\end{array}$

Suy ra: $d(M,(SBD))=\dfrac{{a\sqrt {10} }}{10}$

Vậy $d(M,(SBD))=\dfrac{{a\sqrt {10} }}{10}$