A= n^3-3n^2-n+3

= n^2(n - 3) - (n-3)

= (n -3).(n-1).(n+1)

Do n lẻ nên: (n-1).(n+1) là tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8

(n - 3) là số chẵn chia hết cho 2

-> A chia hết cho 16 (1) 

khác:

A= n^3-3n^2-n+3 = n^3 - n - 3.(n^2 - 1) = n.(n+1)(n-1) - 3.(n^2-1)

 các trường hợp:

n = 3k -> n.(n+1).(n-1) chia hết cho 3 -> A chia hết cho 3

n = 3k + 1 -> (n -1) chia hết cho 3 -> A chia hết cho 3

n = 3k + 2 -> (n+1) = 3k + 3 chia hết cho 3 -> A chia hết cho 3

-> A chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) -> A chia hết cho 3.16 = 48

 

 

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

$\  n³ - 3n² - n + 3 $

$\ = n²(n - 3) - (n - 3) $

$\ = (n - 3)( n² - 1) $

$\ = (n - 3)( n - 1)( n + 1) $

Vì $\ n $ là số lẻ $\ ⇒ n - 3 $ là số chẵn $\vdots$ $\ 2 $

$\ ( n - 1)( n + 1) $ là tích hai số tự nhiên liên tiếp $\vdots$$\ 8 $

$\ ⇒ (n - 3)( n - 1)( n + 1) $ $\vdots$ $\ 16 $   $\ (1) $

Đặt $\ n = 3k + 1 $ 

$\ ⇒ (n - 3)( n - 1)( n + 1) $

$\ = (3k + 1 - 3)(3k + 1 - 1)(3k + 1 + 1) $

$\ = 3k(3k - 2)(3k + 2) $ $\vdots$ $\ 3 $ $\ (2) $

Từ $\ (1) $ và $\ (2) $ $\ ⇒ (n - 3)( n - 1)( n + 1) $ $\vdots$ $\ 3.16 = 48 $

$\ ⇔ (n - 3)( n - 1)( n + 1) $ $\vdots$ $\ 48 $

$\ ⇒ ĐPCM $