$A=1.2...2019(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2019})$

a,

Ta có bổ đề với $n\in N$ thì: $S=1.2...n(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{n})$ là số tự nhiên $(*)$

Ta chứng minh:

Với $n=1=>(*)$ là số tự nhiên

giả sử $(*)$ là số tự nhiên với $n=k(k\in N)$

$=>S=1.2...k(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{k})$ là số tự nhiên

Ta chứng minh với $n=k+1$ thì $(*)$ là số tự nhiên:

Tức: $S=1.2...k(k+1)[1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k+1}]$ là số tự nhiên

Thật vậy:

$S=1.2...k(k+1)(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{k}) +1.2..k(k+1).\dfrac{1}{k+1}$

$=1.2..k(k+1)(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{k})+1.2...k$ (Hiển nhiên là số tự nhiên)

Vậy bổ đề được chứng minh theo giả thiết quy nạp.

Áp dụng vào bài ta được:

$A=1.2...2019(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2019})$ là số tự nhiên

b,

$A=1.2...2019(1+...+\dfrac{1}{2019})$

$=1.2...20...101...2019(1+...+\dfrac{1}{2019})(*)$

Vì $20\vdots 20$

Vì $101\vdots 101$

Mà $(20;101)=1$

$(*)\vdots (20.101)$

$=>(*)\vdots 2020$

$=>A\vdots 2020$