Giải thích các bước giải:

a\cdot Ta có $BE\perp AC, CF\perp AB\to\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$

$\to BCEF$ nội tiếp

b\cdot Ta có $BCEF$ nội tiếp

$\to \widehat{AFM}=\widehat{EFB}=180^o-\widehat{ECB}=180^o-\widehat{ACB}=\widehat{AMB}$

Mà $\widehat{MAF}=\widehat{MAB}$

$\to\Delta AMF\sim\Delta ABM(g\cdot g)$

$\to\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AF}{AM}$

$\to AM^2=AF\cdot AB$

Ta có $\widehat{AFH}=\widehat{ADH}=90^o,\widehat{FAH}=\widehat{BAD}$

$\to\Delta AFH\sim\Delta ADB(g\cdot g)$

$\to\dfrac{AF}{AD}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AF\cdot AB=AD\cdot AH$

$\to AM^2=AH\cdot AD$

c\cdot Kẻ $AK$ là đường kính của $(O)\to AC\perp CK\to \widehat{ACK}=\widehat{ADB}=90^o$

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AKC}$

$\to\Delta ABD\sim\Delta AKC(g\cdot g)$

$\to\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AD}{AC}$

$\to AB\cdot AC=AK\cdot AD=2R\cdot 1.5R=3R^2$

d.Ta có $AK$ là đường kính của $(O)\to CK\perp AC, KB\perp B$

$\to CK//BH, BK//CH$

$\to BKCH$ là hình bình hành

Gọi $BC\cap HK=I\to I$ là trung điểm $BC$

Lấy $J$ là trung điểm $AH$

$\to J$ là tâm đường tròn đường kính $AH, I$ là tâm đường tròn đường kính $BC$

Ta có:

$\widehat{JFH}=\widehat{JHF}=\widehat{AHF}=\widehat{AEF}=\widehat{ABC}=\widehat{FBI}=\widehat{IFB}$

$\to JF\perp FI$

Tương tự $JE\perp EI$

$\to JEIF$ nội tiếp

Mà $\widehat{EIC}=2\widehat{EBC}=\widehat{EBC}+\widehat{HBD}=\widehat{EFC}+\widehat{HFD}=\widehat{EFD}$

$\to IDFE$ nội tiếp

$\to J,E,I,D,F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $JI$

Gọi $G$ là tâm đường tròn $\to G$ là trung điểm $IJ$

$\to IG=\dfrac12IJ$

Mà $I,J$ là trung điểm $HK, HA\to IJ$ là đường trung bình $\Delta HAK$

$\to IJ=\dfrac12AK=R$

$\to IG=\dfrac12R$

$\to G\in (I,\dfrac12R)$ cố định