Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AM,AN$ là tiếp tuyến của $(O)\to AM\perp OM, AN\perp ON$

Mà $AE\perp OE$

$\to A,M,E,O,N\in$ đường tròn đường kính $OA$

b.Ta có $AM$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{AMI}=\widehat{AKM}$

Mà $\widehat{IAM}=\widehat{KAM}$

$\to\Delta AMI\sim\Delta AKM(g.g)$

$\to\dfrac{AM}{AK}=\dfrac{AI}{AM}$

$\to AM^2=AI.AK$

$\to\dfrac{AI}{AK}=\dfrac{AM^2}{AK^2}$

Mà $\dfrac{AM}{AI}=\dfrac{MI}{KM}$

$\to\dfrac{AI}{AK}=\dfrac{MI^2}{MK^2}$

c.Vì $AM,AN$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp MN$ 

Gọi $AO\cap MN=B$

Mà $AM\perp OM\to OM^2=OB.OA\to OB.OA=R^2$

Lại có $\widehat{OBP}=\widehat{OEA}=90^o,\widehat{BOP}=\widehat{AOE}$

$\to\Delta OBP\sim\Delta OEA(g.g)$

$\to\dfrac{OB}{OE}=\dfrac{OP}{OA}$
$\to  OE.OP=OB.OA=R^2=OI^2$

$\to\dfrac{OE}{OI}=\dfrac{OI}{OP}$

Mà $\widehat{IOP}=\widehat{IOE}$

$\to\Delta OIE\sim\Delta OPI(c.g.c)$

$\to\widehat{OIP}=\widehat{OEI}=90^o$
$\to PI$ là tiếp tuyến của $(O)$