Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AC\perp BC, AD\perp BD$

$\to\widehat{ACM}=\widehat{ANM}=90^o,\widehat{MDB}=\widehat{MNB}=90^o$

$\to MNAC, MNBD$ nội tiếp

b.Từ câu a

$\to\widehat{ACN}=\widehat{AMN}=\widehat{DMN}=\widehat{DBN}=\widehat{DBA}=\widehat{ACD}$

$\to CA$ là phân giác $\widehat{DCN}$

Ta có : $AH=\dfrac13R\to CH=\dfrac53R$

Mà $AC\perp BD, CH\perp AB\to CH^2=HA\cdot HB=\dfrac59R^2$

$\to CH=\dfrac{R\sqrt{5}}{3}$

Vì $CD\perp AB=H\to C,D$ đối xứng qua $AB$

$\to S_{ADBC}=2S_{CAB}=2\cdot\dfrac12CH\cdot AB=CH\cdot AB=\dfrac{R\sqrt{5}}{3}\cdot 2R=\dfrac{2R^2\sqrt{5}}{3}$

c.Vì $C,D$ đối xứng qua $AB\to CA=DA$

$\to \widehat{NCA}=\widehat{ACD}=\widehat{CBA}$

$\to NC$ là tiếp tuyến của $(O)$

d.Gọi $AE\cap BC=F$

Vì $EC,EA$ là tiếp tuyến của $(O)\to EO\perp AC\to EO//BC\to EO//BF$

Mà $O$ là trung điểm $AB$

$\to EO$ là đường trung bình $\Delta ABF$

$\to E$ là trung điểm $AF$

$\to EA=EF$

Lại có $CH//AF(\perp AB)$

Gọi $CH\cap BE=G$

$\to\dfrac{GC}{EF}=\dfrac{BG}{BE}=\dfrac{HG}{AE}$

$\to GC=GH$

$\to G$ là trung điểm $CH$

$\to EB$ đi qua trung điểm $CH$