Giải thích các bước giải:

a, Tứ giác BEIF có 3 góc vuông ($\widehat{BEI}$, $\widehat{EBF}$, $\widehat{BFI}$)

⇒ BEIF là hình chữ nhật ⇒ BI = EF (đpcm)

b, ΔABC vuông tại B có BI là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ BI = AC : 2 = $\sqrt[]{AB^{2}+BC^{2}}$ : 2 = $\sqrt[]{6^{2}+8^{2}}$ : 2 = 5cm

c, BEIF là hình chữ nhật ⇒ BE = IF mà IF = FD (đối xứng)

⇒ BE = FD

Xét 2 tam giác vuông ΔEBQ và ΔDFQ có:

BE = DF; QB = QF

⇒ ΔEBQ = ΔDFQ (2 cạnh góc vuông)

⇒ $\widehat{BQE}$ = $\widehat{FQD}$

mà $\widehat{BQE}$ + $\widehat{EQF}$ = $180^{o}$

⇒ $\widehat{FQD}$ + $\widehat{EQF}$ = $180^{o}$

⇒ $\widehat{EQD}$ = $180^{o}$

⇒ E, Q, D thẳng hàng (đpcm)

d, Xét 2 tam giác vuông ΔBFI và ΔCFD có:

BF = CF; FI = FD

⇒ ΔBFI = ΔCFD (2 cạnh góc vuông)

⇒ $\widehat{BIF}$ = $\widehat{CDF}$

Gọi P = AJ ∩ BI

Xét ΔPIF và ΔJDF có:

$\widehat{BIF}$ = $\widehat{CDF}$; $\widehat{PFI}$ = $\widehat{JFD}$ (đối đỉnh); FI = FD

⇒ ΔPIF = ΔJDF (g.c.g)

⇒ IP = JD

Tứ giác BICD có 2 đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ BICD là hình thoi ⇒ BI = CD

ΔABC có AF, BI cắt nhau tại P

⇒ P là trọng tâm ⇒ PI = = $\frac{1}{3}$BI = $\frac{1}{3}$DC 

⇒ DJ = $\frac{1}{3}$DC (đpcm)