Ta có

Tích $ab$ là số lẻ $\Leftrightarrow$ $a$ và $b$ là số lẻ.

"$\Leftarrow$" Giả sử $a$ và $b$ là số lẻ. Do đó $a = 2n + 1$ và $b = 2m + 1$ với $m, n \in \mathbb{N}$.

Khi đó

$ab = (2n+1)(2m+1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1$

Dễ thấy rằng $2(2mn + m + n) + 1$ là một số lẻ.

Vậy $ab $ là số lẻ.

"$\Rightarrow$" Giả sử $ab$ là số lẻ. Ta sẽ cminh $a$ và $b$ là số lẻ.

Thật vậy, giả sử phản chứng rằng $a$ hoặc $b$ là số chẵn. Không mất tổng quát giả sử $a$ là số chẵn.

Khi đó $a = 2k$ với $k \in \mathbb{N}$.

Suy ra

$ab = 2kb$

Hiển nhiên $2kb$ là một số chẵn, do đó $ab$ là số chẵn (mâu thuẫn).

Vậy $a$ và $b$ phải là số lẻ.

Chứng minh thuận: tích a,b là số lẻ thì a,b là số lẻ

Giả sử a,b hoặc cả a,b chẵn $⇒ab$ chẵn⇒Giả sử sai⇒a,b là số lẻ

Chứng minh nghịch: a,b là số lẻ thì tích ab là số lẻ

Đặt $a=2k+1;b=2m+1(k,m∈N)$

$⇒ab=(2k+1)(2m+1)=4km+2(m+k)+1$ lẻ do $4km;2(m+k)$ chẵn

$⇒đpcm$