a) Do E, F là trung điểm AB, CD và AB = CD nên

$AE = EB = \dfrac{1}{2} AB = \dfrac{1}{2} CD= DF = FC = AD = BC$.

Xét tứ giác AEFD có AE//DF và AE = DF nên tứ giác AEFD là hình bình hành.

Lại có AE = AD nên tứ giác AEFD là hình thoi.

CMTT ta có tứ giác BEFC là hình thoi.

Xét tứ giác AECF có AE//CF và AE = CF, do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

b) Do tứ giác AEFD là hình thoi nên $AF \perp ED$.

Lại có tứ giác AECF là hình bình hành nên AF//EC.

Vậy $ED \perp EC$.

Do tứ giác BEFC là hình thoi nên $EN \perp BF$.

Xét tứ giác ENFM có

$\widehat{FME} = \widehat{MEN} = \widehat{ENF} = 90^{\circ}$

Vậy tứ giác EMFN là hình chữ nhật.

c) Để tứ giác EMFN là hình vuông thì EF phải là phân giác $\widehat{ECD}$.

Lại có EF là đường trung tuyến của tam giác ECD, do đó tam giác ECD vuông cân tại E.

Suy ra $\widehat{EDF} = 45^{\circ}$

Lại có tứ giác AEFE là hình thoi nên

$\widehat{ADE} = \widehat{EDF} = 45^{\circ}$

Lại có AE//DF nên $\widehat{AED} = \widehat{EDF} = 45^{\circ}$

Suy ra $\widehat{EAD} = 90^{\circ}$

Suy ra tứ giác ABCD là hình chữ nhật.