Đáp án:

a) Xét ΔABD và ΔACE có:

+ góc ADB = góc AEC= 90 độ

+ AB = AC

+ góc BAD chung

=> ΔABD = ΔACE (ch-gn)

=> BD = CE
b) Do: ΔABD = ΔACE nên góc ABD = góc ACE

=> góc DBC = góc ECB

=> ΔHBC cân tại H

=> HB = HC

=> BD - BH = CE - CH

=> HE = HD

=> ΔHED và ΔHBC cân tại H

c) ΔHED cân tại H

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {HDE} = \widehat {HED} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {DHE}}}{2}\\
\widehat {HBC} = \widehat {HCB} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {BHC}}}{2}\\
\widehat {DHE} = \widehat {BHC}\\
 \Rightarrow \widehat {HDE} = \widehat {HBC}\\
 \Rightarrow DE//BC
\end{array}$

d) Xét ΔADH và ΔADI có:

+ AD chung

+ góc ADH = góc ADI = 90 độ

+ HD = ID
=>ΔADH =ΔADI (c-g-c)

=> AI = AH

Tương tự ΔAKE = ΔAHE

=> AK = AH

=> AI = AK

=> ΔAIK cân tại A

+ Để ΔAIK vuông cân tại A

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {KAI} = {90^0}\\
 \Rightarrow \widehat {KAE} = \widehat {EAH} = \widehat {HAD} = \widehat {DAI} = \dfrac{{{{90}^0}}}{4} = 22,{5^0}\\
 \Rightarrow \widehat {EAD} = {45^0}\\
hay\,\widehat {BAC} = {45^0}
\end{array}$

Vậy tam giác ABC có: góc A = 45 độ thì AIK vuông cân