Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to BD\perp AD, AE\perp BE$

$\to \widehat{PDH}=\widehat{PEH}=90^o$ 

$\to PDHE$ nội tiếp

Mà $ABED$ nội tiếp 

$\to \widehat{PDE}=\widehat{EBA}$

b.Vì $AB\perp EF\to B$ nằm giữa cung $EF\to BE=BF$

$\to\widehat{BAE}=\widehat{BDF}$

$\to \widehat{HAK}=\widehat{HDK}$

$\to AKHD$ nội tiếp

$\to \widehat{HKA}=180^o-\widehat{HDA}=90^o\to HK\perp AB$

Mà $AE\perp BP, BD\perp AP\to H$ là trực tâm $\Delta PAB\to PH\perp AB$

$\to P,H,K$ thẳng hàng

c.Gọi $I$ là trung điểm $DE$

Ta có $OD=OE\to \Delta ODE$ cân tại $O$

$\to OI\perp DE$

$\to OI\perp SI$

$\to I\in$ đường tròn đường kính $OS$ cố định, gọi $C$ là trung điểm $OS\to I\in (C,CO)$ cố định

Gọi $(C)\cap (O)=G,J$

Vì $D,E\in (O)\to I\in $ cung $GJ$ của đường tròn $(C)$