Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB\perp OB,AC\perp OC$

$\to ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OA$

b.Vì $DM,DB$ là tiếp tuyến của $(O)\to DM=DB$

Tương tự ta có $EM=EC$

$\to C_{ADE}=AD+DE+EC=AD+DM+ME+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC$ không đổi

c.Ta có $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AO$ là phân giác $\widehat{BAC}\to AO$ là phân giác $\widehat{PAQ}$

Mà $PQ\perp AO$

$\to \Delta APQ$ cân tại $A$

$\to\widehat{APQ}=\widehat{AQP}$

$\to\widehat{DPO}=\widehat{EQO}$

Ta có:

$\widehat{DOE}=\widehat{DOM}+\widehat{MOE}=\dfrac12\widehat{BOM}+\dfrac12\widehat{MOC}=\dfrac12\widehat{MOC}=\dfrac12(180^o-\widehat{BAC})=90^o-\widehat{BOA}=\widehat{APO}=\widehat{DPO}$

Mà $\widehat{PDO}=\widehat{ODE}$ vì $DM,DB$ là tiếp  tuyến của (O)

$\to\Delta OPD\sim\Delta EOD(g.g)$

$\to\widehat{POD}=\widehat{OED}=\widehat{OEQ}$

Kết hợp $\widehat{DPO}=\widehat{EQO}$

$\to\Delta ODP\sim\Delta EOQ(g.g)$

$\to\dfrac{DP}{OQ}=\dfrac{OP}{EQ}$

$\to DP.EQ=OP^2$

$\to DP+EQ\ge 2\sqrt{DP.EQ}=2OP$ 

Dấu = xảy ra khi $DP=EQ\to M$ nằm chính giữa cung $BC$