Giải thích các bước giải:

1.Vì $A$ nằm chính giữa cung $BC\to AC=AB$

Mà $QC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\widehat{QCP}=\widehat{QCA}=\widehat{CMA}=\widehat{AMB}=\widehat{QMP}$

$\to MPQC$ nội tiếp

$\to\widehat{CPQ}=\widehat{CMQ}=\widehat{CMA}=\widehat{BCA}$

$\to BC//PQ$

2.Ta có $NA$ là tiếp tuyến của $(O)\to NA\perp OA$

Mà $A$ nằm chính giữa cung $BC\to OA\perp BC\to NA//BC$

$\to \widehat{NCA}=\widehat{CMA}=\widehat{BCA}=\widehat{CAN}(AB=AC)$

$\to \Delta NAC$ cân tại $N$

Lại có $AN//CI$

$\to\dfrac{AN}{CI}+\dfrac{NC}{CQ}=\dfrac{QN}{QC}+\dfrac{NC}{CQ}$

$\to\dfrac{CN}{CI}+\dfrac{NC}{CQ}=\dfrac{QN+NC}{CQ}$

$\to\dfrac{CN}{CI}+\dfrac{NC}{CQ}=\dfrac{QC}{CQ}$

$\to\dfrac{CN}{CI}+\dfrac{NC}{CQ}=1$
$\to\dfrac{1}{CI}+\dfrac{1}{CQ}=\dfrac{1}{CN}$

3.Ta có : $\widehat{IBM}=\widehat{IAC}$ (góc nội tiếp chắn cung $MC$)

              $\widehat{MIB}=\widehat{CIA}$ (đối đỉnh)

$\to\Delta MBI\sim\Delta CAI(g.g)$

$\to\dfrac{MI}{CI}=\dfrac{BI}{AI}\to IB.IC=IM.IA$

Mặt khác $\widehat{BMI}=\widehat{AMC}$ (góc nội tiếp chắn cung $AB=AC$)

Kết hợp $\widehat{MBI}=\widehat{IAC}=\widehat{MAC}$

$\to\Delta MBI\sim\Delta MAC(g.g)$
$\to\dfrac{MB}{MA}=\dfrac{MI}{MC}$

$\to MB.MC=MA.MI$

$\to MB.MC-IB.IC=MA.MI-IM.IA=IM^2$
$\to MB.MC=IB.IC+IM^2$

4.Gọi $r$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta MBI,D$ là trung điểm $BC$

$\to \dfrac{BI}{\sin\widehat{BMA}}=2r$

$\to r=\dfrac{BI}{2\sin\widehat{BMA}}$

$\to r=\dfrac{BI}{2\sin(\dfrac12\widehat{BOA})}$

$\to r$ lớn nhất 

$\to BI$ lớn nhất

Mà $MB\le MC$

$\to BI\le BD$

Dấu = xảy ra khi $I\equiv D\to M$ nằm chính giữa cung $BC$ lớn