Giải thích các bước giải:

1.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to AE\perp BE$

Mà $CD\perp AB\to\widehat{ADH}=\widehat{HEB}=90^o$

$\to BEHD$ nội tiếp

2.Ta có $BC\perp AB$ vì $AB$ là đường kính của $(O)$

Mà $CD\perp AB=D\to BC^2=BD.BA$

Ta có : $\widehat{AEB}=\widehat{KDB}=90^o,\widehat{EBA}=\widehat{KBD}$

$\to\Delta BEA\sim\Delta BDK(g.g)$

$\to\dfrac{BE}{BD}=\dfrac{BA}{BK}$

$\to BE.BK=BD.BA$

$\to BC^2=BD.BA=BE.BK$

3a.Vì $AB$ là đường kính của $(O)$
$\to BF\perp AF\to \widehat{HDB}=\widehat{HFA}=90^o$

$\to HDAF$ nội tiếp

Mà $BEHD$ nội tiếp

$\to \widehat{FDH}=\widehat{FAH}=\widehat{FAE}=\dfrac12\widehat{FOE}$

Lại có $\widehat{HDE}=\widehat{HBE}=\widehat{FBE}=\dfrac12\widehat{FOE}$

$\to \widehat{FDE}=\widehat{FDH}+\widehat{HDE}=\widehat{FOE}$

$\to FEOD$ nội tiếp

$\to O\in $ Đường tròn ngoại tiếp $\Delta DEF$

3b.Gọi đường tròn ngoại tiếp $\Delta AHK$ giao $AB$ tại $G$

$\to HKGA$ nội tiếp

$\to \widehat{DAH}=\widehat{DKG},\widehat{DHA}=\widehat{DGK}$

$\to\Delta DAH\sim\Delta DKG(g.g)$

$\to\dfrac{DA}{DK}=\dfrac{DH}{DG}$

$\to DA.DG=DH.DK$

Lại có $\widehat{ADH}=\widehat{KDB}=90^o,\widehat{AHD}=90^o-\widehat{HAD}=90^o-\widehat{EAB}=\widehat{EBA}=\widehat{KBD}$

$\to\Delta DAH\sim\Delta DKB(g.g)$

$\to\dfrac{DA}{DK}=\dfrac{DH}{DB}$

$\to DA.DB=DK.DH$

$\to DA.DG=DA.DB$

$\to DG=DB$

$\to G$ cố định

$\to AG$ cố định thuộc đường tròn ngoại tiếp $\Delta AHK$

$\to $Tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AHK$ luôn thuộc trung trực $GA$ cố định