Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đưong phân giác BD. Biết AD-3 cm; DC= 5cm. Tỉnh độ dài các cạnh AB, BC?

Ta có \(\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}=\frac{3}{5}\) (t/c dg phân giác của tam giác)

Áp dụng định lý pytago, ta có:

     BC² - AB² = AC² = 64

Ta có: \(\frac{AB^2}{BC^2}=\frac{9}{25}\)(bình phương hai vế)

Ta có AB²=(64/16)x9=36\(\Rightarrow\)AB = 6 cm

BC²=( 64 /16 ) x 25 = 100\(\Rightarrow\)BC= 10 cm

⇒ đpcm

Bài 4: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC sao cho BM= BD, CN=CD. Chứng minh rằng: MN // BC?

Xét \(\Delta ABC\) ta có :
AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
\(\Leftrightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}\) ( tính chất đường phân giác trong tam giác )
\(\Leftrightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{MB}{NC}\)
\(\Leftrightarrow\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{NC}\)
Xét \(\Delta ABC\) có : \(\frac{AB}{MB}=\frac{AC}{NC}\)
\(\Leftrightarrow MN//BC\) ( điịnh lí Ta - lét đảo )

⇒ đpcm

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB= 8cm; AC= 12cm; BC= 10cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác, G là trọng tâm tam giác ABC. a, CMR: IG//BC b, Tỉnh độ dài IG

a)

Gọi D là chân đường phân giác của \(\widehat{A}\) trong \(\Delta ABC\):

Theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{DB}{DB+DC}=\frac{2}{2+3}\Leftrightarrow\frac{DB}{BC}=\frac{2}{5}\Rightarrow DB=\frac{2}{5}.BC=\frac{2}{5}.10=4cm\)

Ta có: BI là tia phân giác của \(\widehat{B}\).

\(\Rightarrow\frac{IA}{ID}=\frac{BA}{BD}=\frac{8}{4}=2\)

\(\Rightarrow\frac{IA}{IA+ID}=\frac{2}{2+1}\Leftrightarrow\frac{IA}{AD}=\frac{2}{3}\)

Gọi \(AG\cap BC=\left\{M\right\}\). Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên:

\(\Rightarrow\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}\)

Ta có: \(\frac{AG}{AM}=\frac{AI}{AD}=\frac{2}{3}\) (cmt)

Xét \(\Delta ADM\) có: \(\frac{AG}{AM}=\frac{AI}{AD}=\frac{2}{3}\) nên:

⇒ IG//DM hay \(IG//BC\left(đpcm\right)\) (đ/ly Thales đảo)

b) Vì \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) nên \(M\) là trung điểm của \(BC\)

\(\Rightarrow BM=CM=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5cm\)

\(\Rightarrow DM=BM-BD=5-4=1cm\)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(IG//DM\Rightarrow\frac{IG}{DM}=\frac{AI}{AD}=\frac{2}{3}\Rightarrow IG=\frac{2}{3}DM=\frac{2}{3}.1=\frac{2}{3}\approx0,67cm\) ( để phân số thì hơn, nhưng có một vài lớp để xấp xỉ nên mình để 0,67 nhé)

⇒ đpcm

 

Đáp án:

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đưong phân giác BD. Biết AD-3 cm; DC= 5cm. Tỉnh độ dài các cạnh AB, BC?

Ta có ABBC=ADDC=35ABBC=ADDC=35 (t/c dg phân giác của tam giác)

Áp dụng định lý pytago, ta có:

     BC² - AB² = AC² = 64

Ta có: AB2BC2=925AB2BC2=925(bình phương hai vế)

Ta có AB²=(64/16)x9=36⇒⇒AB = 6 cm

BC²=( 64 /16 ) x 25 = 100⇒⇒BC= 10 cm

⇒ đpcm

Bài 4: Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC sao cho BM= BD, CN=CD. Chứng minh rằng: MN // BC?

Xét ΔABCΔABC ta có :
AD là tia phân giác của ˆBACBAC^
⇔ABAC=BDDC⇔ABAC=BDDC ( tính chất đường phân giác trong tam giác )
⇔ABAC=MBNC⇔ABAC=MBNC
⇔ABMB=ACNC⇔ABMB=ACNC
Xét ΔABCΔABC có : ABMB=ACNCABMB=ACNC
⇔MN//BC⇔MN//BC ( điịnh lí Ta - lét đảo )

⇒ đpcm

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB= 8cm; AC= 12cm; BC= 10cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác, G là trọng tâm tam giác ABC. a, CMR: IG//BC b, Tỉnh độ dài IG

a)

Gọi D là chân đường phân giác của ˆAA^ trong ΔABCΔABC:

Theo tính chất đường phân giác ta có:

DBDC=ABAC=812=23DBDC=ABAC=812=23

⇒DBDB+DC=22+3⇔DBBC=25⇒DB=25.BC=25.10=4cm⇒DBDB+DC=22+3⇔DBBC=25⇒DB=25.BC=25.10=4cm

Ta có: BI là tia phân giác của ˆBB^.

⇒IAID=BABD=84=2⇒IAID=BABD=84=2

⇒IAIA+ID=22+1⇔IAAD=23⇒IAIA+ID=22+1⇔IAAD=23

Gọi AG∩BC={M}AG∩BC={M}. Vì GG là trọng tâm của ΔABCΔABC nên:

⇒AGAM=23⇒AGAM=23

Ta có: AGAM=AIAD=23AGAM=AIAD=23 (cmt)

Xét ΔADMΔADM có: AGAM=AIAD=23AGAM=AIAD=23 nên:

⇒ IG//DM hay IG//BC(đpcm)IG//BC(đpcm) (đ/ly Thales đảo)

b) Vì AMAM là đường trung tuyến của ΔABCΔABC nên MM là trung điểm của BCBC

⇒BM=CM=BC2=102=5cm⇒BM=CM=BC2=102=5cm

⇒DM=BM−BD=5−4=1cm⇒DM=BM−BD=5−4=1cm

Xét ΔABCΔABC có: IG//DM⇒IGDM=AIAD=23⇒IG=23DM=23.1=23≈0,67cmIG//DM⇒IGDM=AIAD=23⇒IG=23DM=23.1=23≈0,67cm ( để phân số thì hơn, nhưng có một vài lớp để xấp xỉ nên mình để 0,67 nhé)

⇒ đpcm

 

Giải thích các bước giải: