Đáp án: $03203827744$

Giải thích các bước giải:

 Gọi 4 chữ số cuối có dạng $\overline {aabb} \left( {a \ne 0;0 \le a,b \le 9} \right)$

$ \Leftrightarrow \overline {aabb} $ là số chính phương

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \overline {aabb}  = 1000.a + 100.a + 10.b + b\\
 = 1100.a + 11.b\\
 = 11.100.a + 11.b\\
 = 11.\left( {100.a + b} \right) \vdots 11
\end{array}$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \overline {aabb}  = 1000.a + 100.a + 10.b + b\\
 = 1100.a + 11.b\\
 = 11.100.a + 11.b\\
 = 11.\left( {100.a + b} \right)\\
 = 11.\left( {99.a + a + b} \right) \vdots 11
\end{array}$

Để nó là số chính phương thì $\left( {99.a + a + b} \right) \vdots 11$

Mà $\left( {99.a} \right) \vdots 11$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {a + b} \right) \vdots 11\\
 \Leftrightarrow a + b = 11\left( {do:0 \le a,b \le 9;a \ne 0} \right)\\
 \Leftrightarrow \left( {a;b} \right) \in \left\{ \begin{array}{l}
\left( {2;9} \right);\left( {3;8} \right);\left( {4;7} \right);\left( {5;6} \right)\\
;\left( {6;5} \right);\left( {7;4} \right);\left( {8;3} \right);\left( {9;2} \right)
\end{array} \right\}\\
 \Leftrightarrow \overline {aabb}  \in \left\{ \begin{array}{l}
2299;3388;4477;5566;\\
6655;7744;8833;9922
\end{array} \right\}
\end{array}$

Ta thấy chỉ có $7744$ là số chính phương

Vậy số điện thoại của cơ quan là $03203827744$