a) Ta có: $Ax\perp AB$ $(gt)$ ⇒ $\widehat{EAB} = 90^{o}$

$EC$ là tiếp tuyến của $(O)$ $(gt)$ ⇒ $\widehat{ECO} = 90^{o}$

Xét tứ giác $AECO$ có:

$\widehat{EAB} + \widehat{ECO} = 180^{o}$

Do đó $AEO$ là tứ giác nội tiếp

Ta có: $EA$ và $EC$ là tiếp tuyến của $(O)$ $(gt)$

⇒ $EA = EC$

mà $OA = OC = R$

nên $OE$ là đường trung trực của $AC$

⇒ $OE$ là đường phân giác của $\widehat{COA}$

hay $\widehat{COE}=\frac{\widehat{COA}}{2}$

Chứng minh tương tự, ta được: $CF = BF$

và $\widehat{COF}=\frac{\widehat{COB}}{2}$

Ta lại có: $\widehat{COA} + \widehat{COB} = 180^{o}$ (hai góc kề bù)

⇒ $\widehat{COE} + \widehat{COF} = 90^{o}$

hay $OE\perp OF$

⇒ $ΔOEF$ vuông tại $O$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔOEF$ vuông tại $O$, đường cao $OC$, ta được:

$EC.CF = OC^{2} = R^{2}$

mà $EC = AE$ và $CF = BF$ $(cmt)$

nên $AE.BF=R^{2}$

b) Do $OE$ là đường trung trực của $AC$

nên $OE\perp AC$ tại $M$

và $M$ là trung điểm $AC$

Xét $ΔHAC$ vuông tại $H$, có:

$HM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AC$

⇒ $HM=MA=MC$

⇒ $ΔMAH$ cân tại $M$

Ta cũng được $ΔMHC$ cân tại $M$

⇒ $\widehat{MHC}=\widehat{MCH}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$ΔNCH$ cân tại $N$

⇒ $\widehat{NHC}=\widehat{NCH}$

Ta lại có: $\widehat{MCH} + \widehat{NCH} = \widehat{MCN} = 90^{o}$ ($\widehat{MCN}$ nhìn đường kính $AB$)

nên $\widehat{MHC} + \widehat{NHC} =90^{o}$

hay $MH\perp HN$