a) Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABC$ vuông tại $A$ ta được:

$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$

⇒ $BC=\sqrt{AB^{2} + AC^{2}}=\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5 cm$ 

Ta có: $sin\widehat{B} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}$

⇒ $\widehat{B} = arcsin\frac{4}{5}$

$cosin\widehat{C} = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}$

⇒ $\widehat{C} = arccosin\frac{4}{5}$

b) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được:

$\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}$

⇔ $\frac{BE}{BC - BE} = \frac{AB}{AC}$

⇔ $BE.AC = AB.BC - AB.BE$

⇔ $(AC+AB).BE = AB.BC$

⇔ $BE = \frac{AB.BC}{AC+AB} = \frac{3.5}{4+3} = \frac{15}{7}$

⇒ $EC = BC - BE = 5 - \frac{15}{7} = \frac{20}{7}$

c) Xét tứ giác $AMEN$ có:

$\widehat{A} = \widehat{M} = \widehat{N} = 90^{o}$ $(gt)$

Do đó $AMEN$ là hình chữ nhật

Ta lại có: $AE$ là đường phân giác của $\widehat{A}$ $(gt)$

mà $AE$ là đường chéo của hình chữ nhật $AMEN$

nên $AMEN$ là hình vuông

Áp dụng định lý cô-sin vào $ΔAEC$, ta được:

$AE^{2} = AC^{2} + EC^{2} - 2.AC.EC.cosin(\widehat{C})$

⇒ $AE = \sqrt{4^{2} + \frac{20}{7})^{2} - 2.4.\frac{20}{7}.(\frac{4}{5})} ≈ 2,42 cm$

⇒ $AN = \frac{AE}{\sqrt{2}} ≈ 1,71 cm$

$P_{AMEN} = 4.AN ≈ 6,84 cm$ 

$S_{AMEN} = AN^{2} ≈ 2.92 cm^{2}$