Giải thích các bước giải:

a)

Ta có:

$\widehat{HDC}+\widehat{HEC}=90^o+90^o=180^o$(Do $AD\perp BC=H; BE\perp AC=E$)

Suy ra tứ giác $DHEC$ nội tiếp.

b)

Gọi G là điểm nằm trên đường tròn sao cho AG là đường kính của (O).

Ta có: $\widehat{ABG}=\widehat{ACG}=90^o$(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\to BG\perp AB=B;CG\perp AC=C$

$\to BG//CH;CG//BH$(Do $CH\perp AB;BH\perp AC$)

$\to BHCG$ là hình bình hành $\to BC\cap HG=M$ $\to $ M là trung điểm HG.

Khi đó:

M là trung điểm HG; O là trung điểm AG $\to$ OM là đường trung bình của tam giác AHC.

$\to OM//AH; OM=\dfrac{AH}{2} $ hay $OM//AI;OM=AI$(Do I là trung điểm AH)

$\to $ AIMO là hình bình hành.

c) 

Ta có: $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$

$\to$ BFEC là tứ giác nội tiếp.$to \widehat{MDF}=180^o-\widehat{BAC}$(1).

$\to \widehat{CFE}=\widehat{EBC}$ 

Lại có: $\widehat{MFC}=\widehat{MCF}$(Do tính chất trung tuyến của tam giác vuông)

Suy ra: $\widehat{MFE}=\widehat{MFC}+\widehat{CFE}=\widehat{MCF}+\widehat{EBC}=\widehat{HCB}+\widehat{HBC}=180^o-\widehat{BHC}\to \widehat{MFK}=\widehat{BHC}$(2)

Mặt khác:

Tứ giác AFHE nội tiếp vì $\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^o+90^o=180^o$

$\to \widehat{EAF}+\widehat{EHF}=180^o $ hay $\widehat{BAC}+\widehat{BHC}=180^o$(3)

Từ (1),(2),(3) $\to \widehat{MFK}=\widehat{MDF}$

Xét tam giác MFK và tam giác MDF có:

Góc M chung và $\widehat{MFK}=\widehat{MDF}$

$\to \Delta MFK\sim \Delta MDF(g.g)\to \widehat{MKF}=\widehat{MFD}\to $ MF là trung tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác KFD.