Đáp án:bạn tham khảo

 

Giải thích các bước giải:

 

a) Ta có $AM$ là tiếp tuyến của $(O)$ $(gt)$

=> $OM\perp AM$

=> $\widehat{OMA} = 90°$

Ta lại có: $AK\perp BC$ $(gt)$

=> $\widehat{OKA} = 90°$

Xét tứ giác $AMKO$ có:

$\widehat{OMA} = \widehat{OKA} = 90°$

mà $\widehat{OMA}$ và $\widehat{OKA}$ cùng nhìn cạnh $OA$

nên $AMKO$ là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh tương tự câu a, ta được $ANOK$ là tứ giác nội tiếp

Ta được: $\widehat{AKM} = \widehat{AOM}$ (cùng nhìn cạnh $AM$) $(1)$

$\widehat{AKN} = \widehat{AON}$ (cùng nhìn cạnh $AN$) $(2)$

 Ta lại có $AM, AN$ là các tiếp tuyến, $M, N$ là các tiếp điểm $(gt)$

nên $AM = AN$

mà $OM = ON = R$

nên $OA$ là đường trung trực của $MN$

hay $OA$ là đường phân giác của $\widehat{MON}$

=> $\widehat{AOM} = \widehat{AON}$ $(3)$

$(1)(2)(3)$ => $\widehat{AKM} = \widehat{AKN}$

=> $AK$ là đường phân giác của $\widehat{MKN}$

c) Ta có: $AMKO$ nội tiếp

$\widehat{AMO}$ và $\widehat{AKO}$ cùng nhìn cạnh $AO$ một góc $90°$

Tương tự, $AKON$ nội tiếp

$\widehat{AKO}$ và $\widehat{ANO}$ cùng nhìn cạnh $AO$ một góc $90°$

Do đó $A,M,K,O,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$

=> $ANKM$ nội tiếp

=> $\widehat{ANM} = \widehat{AKM}$ (cùng nhìn cạnh $AM$)

mà $\widehat{AKM} = \widehat{AKN}$ (chứng minh ở câu b)

nên $\widehat{ANM} = \widehat{AKN}$

Xét $∆ANH$ và $∆AKN$ có:

$\widehat{KAN}:$ góc chung

$\widehat{ANM} = \widehat{AKN}$ $(cmt)$

Do đó $∆ANH\sim ∆AKN$ $(g.g)$

=> $\dfrac{AN}{AK} = \dfrac{AH}{AN}$

Hay $AN^{2} = AH.AK$