Giải thích các bước giải:

 a) $ \Delta BFN$ có $\widehat {BFN} = {90^o};\widehat {FBN} = \widehat {FCN} = \widehat {ACD} = {45^o}$$\to \Delta BFN$ vuông cân tại $F$.

b) Ta có:

+$\widehat {MBE} = \widehat {MAE} = {45^0}$$\to MABE$ nội tiếp $ \Rightarrow \widehat {MEB} + \widehat {MAB} = {180^0} \Rightarrow \widehat {MEB} = {90^o}$$\to ME\perp BN=E$

+$\widehat {NBF} = \widehat {NCF} = {45^0}$$ \to NFBC$ nội tiếp$ \Rightarrow \widehat {NFB} + \widehat {NCB} = {180^0} \Rightarrow \widehat {NFB} = {90^0}$$\to NF\perp MB=F$

Xét tam giác MBN có: $ME\perp BN=E;NF\perp MB=F;NF\cap ME =Q$$\to H $ là trực tâm tam giác MBN $\to BQ\perp MC$

Mà $\widehat{BPN}=90^o$(góc nội tiếp $(O)$)$\to BP\perp MN=P$

Suy ra: $B,Q,P$ thẳng hàng.

c) Ta có:

$\widehat {QPN} + \widehat {QEN} = {90^o} + {90^o} = {180^o}$(Do $BP\perp MN; ME\perp BN$) $\to QPNE$ nội tiếp$\to \widehat {QPE}=\widehat {QCE}$

$\widehat {FPE} = \widehat {FPB} + \widehat {BPE} = \widehat {FCB} + \widehat {QPE} = \widehat {FCB} + \widehat {QCE} = 2\widehat {FCB} = {2.45^o} = {90^o}$

Suy ra: $\Delta FPE$ vuông ở $P$

d) Ta có:

$\widehat {BFQ} + \widehat {BEQ} = {90^o} + {90^o} = {180^o}$(Do $NF\perp MB; ME\perp BN$)$\to BFQE$ nội tiếp $\to \widehat {BFE} = \widehat {BQE}$ mà 

$\widehat {BQE} = \widehat {BNP}$ (Do $QPNE$ nội tiếp) $\to \widehat {BFE} = \widehat {BNP}\to \widehat {BFC} = \widehat {BNP} \to \widehat {BNC} = \widehat {BNP}$

$\begin{array}{l}
 \to \Delta BNP = \Delta BNC\left( {ch - gn} \right)\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
BP = BC\\
\widehat {PBN} = \widehat {CBN} \to \widehat {NME} = \widehat {NPC}\left( {\widehat {PBN} = \widehat {NME};\widehat {CBN} = \widehat {NPC}} \right) \to ME//PC
\end{array} \right.
\end{array}$

$\to$ Đpcm