Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Bài 2:

Câu 1/

Ta có : `2x + y = z – 38` nên `2x + y – z = – 38` 

+  Vì  `3x=4y=5z – 3x – 4y`   nên `3x=5z – 3x – 3x`           

`⇒ 3x = 5z – 6x ⇒ 9x-5z`            

`⇒\frac{x}{5}=\frac{z}{9}\     \frac{x}{20}=\frac{z}{36}\                       (1)` 

+  Vì    `3x = 4y⇒\frac{x}{4}=\frac{y}{3}⇒\frac{x}{20}=\frac{y}{15}\          (2)`     

Từ `(1)` và `(2)` suy ra   `\frac{x}{20}=\frac{y}{15}=\frac{z}{36}`     

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :                                

`\frac{x}{20}=\frac{y}{15}=\frac{z}{36}=\frac{2x+y-z}{2.20+15-36}=\frac{-38}{19}=-2` 

Do đó :        `\frac{x}{20}=-2 ⇒ x=20.(-2)=-40`                         

`\frac{y}{15}=-2 ⇒ x=15.(-2)=-30`                         

`\frac{z}{36}=-2 ⇒ x=36.(-2)=-72`      

Vậy       `x = -40  ; y = -30  ;  z = - 72`

Câu 2/

Ta có: `\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}`  nên `\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{2ab}{2cd}`

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

`\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{2ab}{2cd}=\frac{a^2+b^2+2ab}{c^2+d^2+2cd}=\frac{a^2+b^2-2ab}{c^2+d^2-2cd}=\frac{(a^2+ab)+(b^2+ab)}{(c^2+cd)+(d^2+cd)}=\frac{(a^2-ab)+(b^2-ab)}{(c^2-cd)+(d^2-cd)}=\frac{(a+b)^2}{(c+d)^2}=\frac{(a-b)^2}{(c-d)^2}`

Suy ra `(\frac{a+b}{c+d})^2=(\frac{a-b}{c-d})^2 ⇒ \frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}`  hoặc `\frac{a+b}{c+d}=\frac{b-a}{c-d}`

+ Với  `\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}` thì `(a+b).(c-d)=(a-b).(c+d)`

           `⇒ac - ad +bc – bd = ac + ad –bc - bd`

               `⇒ad = bc⇒\frac{a}{b}=\frac{c}{d} `      

   + Với `\frac{a+b}{c+d}=\frac{b-a}{c-d}` thì `(a+b).(c-d)=(b-a).(c+d)`

               `⇒ac - ad +bc – bd = bc + bd –ac - ad`

             `⇒ac = bd⇒\frac{a}{b}=\frac{d}{c}`

Vậy nếu `\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{ab}{cd}` với `a, b, c, d \ne 0; c \ne - d`   thì  `\frac{a}{b}=\frac{c}{d} `   hoặc `\frac{a}{b}=\frac{d}{c}`

Bài 3:

Câu 1/

Với mọi n nguyên dương, ta có `4^{n+3}+4^{n+2}-4^{n+1}-4^n=4^n.(4^3+4^2-4-1)`

`=4^n.(64+16-4-1)=4^n.75`

`=4^{n-1}.4.75=300.4^{n-1}`

Mà `300.4^{n-1}` chia hết cho 300   ( với mọi n nguyên dương )

Nên `4^{n+3}+4^{n+2}-4^{n+1}-4^n` chia hết cho 300  ( với mọi n nguyên dương )

Câu 2/

Điều kiện :` x \in Z  ; x  ≠ 12`

 Biến đổi `Q=\frac{27-2x}{12-x}=\frac{2.(12-x)+3}{12-x}=2+\frac{3}{12-x}`

 Ta có `2 \in Z; x \in Z  ;  x  ≠ 12`

     nên Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi  `\frac{3}{12-x}` có giá trị nguyên

   Mà `\frac{3}{12-x}`  có giá trị nguyên khi và chỉ khi `12-x \in  Ư(3)`

     `Ư(3)={-3;-1;1;3}`

    +   Nếu `12 - x = - 3` thì  `x = 15`  (thỏa mãn điều kiện)

    +   Nếu `12 - x  = -1`  thì  `x = 13` (thỏa mãn điều kiện)

    +   Nếu `12 - x  = 1` thì  `x = 11`  (thỏa mãn điều kiện)

    +   Nếu `12 - x  = 3`   thì  `x = 9` (thỏa mãn điều kiện)

Vậy Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi `x \in {9;11;13;15}`

Bài 4:  

Ta có: `H=(3x-2y)^2-(4y-6x)^2-|xy-24|`

`H=(3x-2y)^2-4.(2y-3x)^2-|xy-24|`

`H=(3x-2y)^2-4.(3x-2y)^2-|xy-24|`

`H=-3.(3x-2y)^2-|xy-24|`

`H=-[3.(3x-2y)^2+|xy-24|]`

Ta có `3.(3x-2y)^2≥0`  với mọi giá trị của x,y

`|xy-24| ≥0` với mọi giá trị của x, y

  Do đó `3.(3x-2y)^2+|xy-24|≥0` với mọi giá trị của x, y

Nên `-[3.(3x-2y)^2+|xy-24|]≤0` với mọi giá trị của x, y

                          Hay             `H  ≤  0`          với mọi giá trị của x, y

       Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi `3x-2y=0` và `xy-24=0\ (1)`

+ Với `3x-2y=0`   thì `3x = 2y⇒\frac{x}{2}=\frac{y}{3}`

Đặt `\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=k`. Khi đó `x = 2k   ; y = 3k`

 Thay `x = 2k` và `y = 3k` vào (1) ta được

     `2k . 3k - 24 = 0`

 `⇔ 6k^2 = 24`

`⇔ k^2 = 4`      

`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}k=2\\k=-2\end{array} \right.\)

    + Với `k = 2` thì  `x = 2.2 =  4`

                              `y = 3.2 =  6`

   + Với k = - 2 thì   `x = 2.(-2) = - 4` 

                                `y = 3.(-2) = - 6`   

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức H là `0` khi và chỉ khi  `x = 4;   y = 6`

                                                                              hoặc   `x = - 4;  y = - 6`

Bài 5:

 1)  Chứng minh :   BE = CD

+    Ta có: `\hat{DAC}=\hat{DAB}+\hat{BAC}` ( Vì tia AB nằm giữa 2 tia AD và AC )

       Mà `\hat{BAD}=90^0` (Vì `AB \bot AD` tại A )

     Nên `\hat{DAC}=90^0+\hat{BAC}` (1)

+    Ta có: `\hat{BAE}=\hat{CAE}+\hat{BAC}` ( Vì tia AC nằm giữa 2 tia AB và AE )

       Mà `\hat{CAE}=90^0` (Vì `AE \bot AC` tại A )

         Nên `\hat{BAE}=90^0+\hat{DAC}` (2)

Từ (1) và (2) suy ra `\hat{BAE}=\hat{DAC}`

       Xét `∆ ABE` và  `∆ ADC` có :

                `AB = AD`    (GT)

               `\hat{BAE}=\hat{DAC}` (chứng minh trên)

                `AE = AC`       (GT)

 Do đó: `∆ABE =  ∆ ADC`   (c – g - c)

 Suy ra: `BE = CD` ( hai cạnh tương ứng)

2)  Chứng minh:    `MA \bot BC`

   +   Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN

 Từ D kẻ DF vuông góc với MA tại F

    Xét `∆ MAE` và  `∆ MDN` có :

                `MN = MA`     (Vì M là trung điểm của AN )

                `\hat{AME}=\hat{DMN}` (chứng minh trên)

                `ME = MD`       (Vì M là trung điểm của DE )

 Do đó: `∆ MAE =  ∆ MND`   (c – g - c)

 Suy ra   `AE = DN`      ( hai cạnh tương ứng )  

               `\hat{NDM}=\hat{MEA}` ( hai góc tương ứng )                            

  Mà `\hat{NDM}` và `\hat{MEA}`ở vị trí so le trong của hai đường thẳng AE và DN  

  Nên AE // DN  ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ) 

Suy ra: `\hat{ADN}+\hat{DAE}=180^0` (Vì là hai góc trong cùng phía )    (3)