Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC, BD$ của đáy $ABCD$

$N$ là trung điểm $CD$

Gọi $Δ$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $(ACBD)$

Ta có: $ΔSAB$ cân tại $S$ ($S.ABCD$ là hình chóp đều)

$M$ là trung điểm cạnh đáy $AB$ $(gt)$

⇒ $SA\perp AB$

mà $Δ // AB$ (cách dựng)

nên $SA\perp Δ$

Tương tự, ta được: $SN\perp Δ$

mà $SA \in (SAB); \, SB \in (SCD)$

nên $\widehat{MSN}$ là góc giữa $(SAB)$ và $(SCD)$

⇒ $\widehat{MSN} = 60^o$

⇒ $ΔMSN$ là tam giác đều

⇒ $SM = MN = AB$

Áp dụng định lý Pytago vào $ΔSMB$ vuông tại $M$ ta được:

$SB^{2} = SM^{2} + MB^{2}$

⇔ $(2MB)^{2} + MB^{2} = (a\sqrt{5})^{2}$

⇔ $5MB^{2} = 5a^{2}$

⇒ $MB = a$

Ta có: $SO\perp AC$ ($S.ABCD$ là hình chóp đều)

$AC\perp BD$ (đáy là hình vuông)

⇒ $AC\perp (SDB)$

Tương tự, $BD\perp (SAC)$

Ta có:

$\begin{cases} AC\perp (SDB)\\ BD\perp (SAC)\\(SAC)∩(SBD)=SO\\AC\perp SO\\BD\perp SO\end{cases}$

⇒ $(SAC) \perp (SBD)$

Kẻ $MH \perp BD$ $(H \in BD)$

⇒ $MH // AC$ $(\perp BD)$

mà $AC \perp (SBD)$

nên $MH \perp (SBD)$

⇒ $SH$ là hình chiếu của $SM$ lên $(SBD)$

Kẻ $OK\perp SH$

Ta có:

$(SDB)\perp AC$

$(SBD)∩AC=O$

$SH$ là hình chiếu của $SM$ lên $(SBD)$

$OK\perp SH$

Do đó $OK = d(SM;AC)$

Ta có $MH // AC$

$MA = MB$

⇒ $HO = HB = \dfrac{OB}{2} = \dfrac{\dfrac{AB}{\sqrt{2}}}{2} = \dfrac{2.MB}{2.\sqrt{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔSOH$ vuông tại $O$, đường cao $OK$ ta được:

$\dfrac{1}{OK^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}} + \dfrac{1}{SO^{2}}$

⇔ $\dfrac{1}{OK^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}} + \dfrac{1}{(\dfrac{AB\sqrt{2}}{2})^{2}}$

⇔ $\dfrac{1}{OK^{2}} = \dfrac{1}{OH^{2}} + \dfrac{1}{2MB^{2}}$

⇔ $OK^{2} = \dfrac{2MB^{2}OH^{2}}{2MB^{2}+OH^{2}} = \dfrac{5}{2a^{2}}$

⇒ $OK = \dfrac{a\sqrt{10}}{5}$