a) Ta có: $EK \perp AB \, (gt)$

$\Rightarrow \widehat{EHB} = 90^o$

$EK \perp BC \, (gt)$

$\Rightarrow \widehat{EKB} = 90^o$

Xét tứ giác $BHEK$ có:

$\widehat{EHB} + \widehat{EKB} = 180^o$

Do đó $BHEK$ là tứ giác nội tiếp

b) Do $BHEK$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{BKH} = \widehat{BEH}$ (cùng nhìn cạnh $BH$)

mà $\widehat{BEH} = \widehat{BAC}$ (cùng phụ $\widehat{AEH}$)

$\Rightarrow \widehat{BKH} = \widehat{BAC}$

Xét $∆BKH$ và $∆BAC$ có:

$\widehat{ABC}:$ góc chung

$\widehat{BKH} = \widehat{BAC} \, (cmt)$

Do đó $∆BKH \sim ∆BAC \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{BK}{BA} = \dfrac{BH}{BC}$

Hay $BH.BA = BK.BC$

Xét tứ giác $AHKC$ có:

$\widehat{BKH} = \widehat{BAC} \, (cmt)$

$\widehat{BKH}$ là góc ngoài của $\widehat{HKC}$

Do đó $AHKC$ là tứ giác nội tiếp

c) Kẻ $ED \perp FC \, (D \in FC)$

$\Rightarrow HEDF$ là hình chữ nhật

mà $I$ là trung điểm của đường chéo $EF$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của đường chéo $HD$

hay $H, I, D$ thẳng hàng $(1)$

$∆DEF$ vuông tại $D$ có $I$ là trung điểm cạnh huyền $EF$

$\Rightarrow DI = IE = IF$

$\Rightarrow ∆DIE$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{EDI} = \widehat{DEI}$

mà $\widehat{DEI} = \widehat{DHF} = \widehat{EFH}$ ($HEDF$ là hình chữ nhật)

nên $\widehat{EDI} = \widehat{EFH}$

Ta lại có: $BCEF$ là tứ giác nội tiếp ($\widehat{BEC} = \widehat{BFC} = 90^o$ và cùng nhìn cạnh $BC$)

nên $\widehat{EFH} = \widehat{ECB}$ (cùng bù $\widehat{EFB}$)

$\Rightarrow \widehat{EDI} = \widehat{ECB}$

Mặt khác, ta có $EDKC$ là tứ giác nội tiếp ($\widehat{EDC} = \widehat{EKC} = 90^o$ và cùng nhìn cạnh $EC$)

$\Rightarrow \widehat{ECB} + \widehat{EDK} = 180^o$

mà $\widehat{EDI} = \widehat{ECB}$ $(cmt)$

nên $\widehat{EDI} + \widehat{EDK} = 180^o$

$\Rightarrow I, D, K$ thẳng hàng $(2)$

Từ $(1),(2) \Rightarrow H, I, K$ thẳng hàng