Ta có 3n+1 : hết cho 2n-1

Mà 2n -1 : hết cho 2n-1

⇒ [(3n + 1)-(2n-1)] : hết cho 2n -1

⇒ [2.(3n+1)-3.(2n-1)] : hết cho 2n -1

⇒[(6n+2)-(6n-3)] : hết cho 2n -1

⇒[6n+2 - 6n +3] : hết cho 2n-1

⇒[(6n-6n)+(2+3)] : hết cho 2n-1

⇒[     0     +   5   ] : hết cho 2n-1

⇒            5          : hết cho 2n-1

⇒ 2n-1 ∈ Ư(5)

Mà Ư(5)={±5}

Ta có bảng sau:

_2n-1_____5________-5____

___n______3_________-2____

Vậy n={3;-2}

Giải thích các bước giải:

$3n + 1 \vdots 2n - 1$

$\Leftrightarrow \left [ \left ( 3n + 1 \right ) - \left ( 2n - 1 \right ) \right ] \vdots 2n - 1$

$\Leftrightarrow \left [ 2\left ( 3n + 1 \right ) - 3\left ( 2n - 1 \right ) \right ] \vdots 2n - 1$

$\Leftrightarrow \left ( 6n + 2 - 6n + 3 \right ) \vdots 2n - 1$

$\Leftrightarrow 5 \vdots 2n - 1$

$\Leftrightarrow 2n - 1 \in Ư\left ( 5 \right )$

$\Leftrightarrow 2n - 1 \in \left \{ -5; -1; 1; 5 \right \}$

$\Leftrightarrow n \in \left \{ -2; 0; 1; 3 \right \}$