a)

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ANB$, ta có:

+  $\widehat{ABM}=\widehat{ANB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến – dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $BM$)

+  $\widehat{BAM}$ là góc chung

Nên $\Delta ABM\backsim\Delta ANB\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}\Rightarrow A{{B}^{2}}=AM.AN$

 

b)

Vì $AB,AC$ là hai tiếp tuyến của $\left( O \right)$

Nên $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90{}^\circ $

Do đó $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180{}^\circ $

Vậy $ABOC$ nội tiếp

 

Vì $E$ là trung điểm $MN$

Nên $OE\bot AN$ (quan hệ đường kính – dây cung)

Do đó $\widehat{AEO}=90{}^\circ =\widehat{ABO}$

Vậy $ABEO$ nội tiếp

 

Ta có $ABOC$ và $ABEO$ nội tiếp

Nên 5 điểm $A,B,E,O,C$ cùng thuộc một đường tròn

Do đó $ABEC$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AEC}=\widehat{ABC}$   và   $\widehat{AEB}=\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên $\widehat{AEC}=\widehat{AEB}$

Vậy $EA$ là phân giác $\widehat{BEC}$