Bài 1:

a) Ta có: $\widehat{BAK} = \widehat{AKD}$ (so le trong)

$\widehat{AKB} + \widehat{HAK} = 90^o$

$\widehat{AKD} + \widehat{KAC} = 90^o$

mà $\widehat{HAK} = \widehat{KAC} \, (gt)$

⇒ $\widehat{AKB} = \widehat{AKD}$

⇒ $\widehat{AKB} = \widehat{BAK}$

 b) Xét $ΔAEK \, (\widehat{E} = 90^o)$ và $ΔKHA \, (\widehat{H} = 90^o)$ có:

$\widehat{AKB} = \widehat{BAK}$ (câu a)

$AK:$ cạnh chung

Do đó $ΔAEK = ΔKHA$ (cạnh huyền - góc nhọn)

c) Ta có: $ΔAEK = ΔKHA$ 

⇒ $\widehat{HAK} = \widehat{EKA}$

⇒ $ΔIAK$ cân tại $I$

⇒ $IA = IK$

⇒ $IE = IH$

Xét $ΔEBI \, (\widehat{E} = 90^o)$ và $ΔHBI \, (\widehat{H} = 90^o)$ có:

$BI:$ cạnh chung

$IE = IH$ $(cmt)$

Do đó $ΔEBI = ΔHBI$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ $\widehat{EBI} = \widehat{HBI}$

⇒ $BI$ là phân giác của $\widehat{ABK}$

d)

Bài 2:

a) Ta có: $ΔABC$ cân tại $A$

⇒ $\widehat{B} = \widehat{C}$

mà $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o$

hay $\widehat{A} + 2\widehat{B} = 180^o$

⇒ $\widehat{B} = \widehat{C} = \dfrac{180 - \widehat{A}}{2} = \dfrac{180 - 108}{2} = 36^o$

b) Gọi $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $BC$ $(M\in BC)$

⇒ $AM$ là phân giác, là trung trực, đường cao kẻ từ đỉnh $A$

$O$ là giao điểm 2 đường trung trực kẻ từ cảnh $AB, AC$ ⇒ $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ΔABC$

⇒ $O \in$ trung trực của $BC$

⇒ $O\in AM$

$I$ là giao điểm các đường phân giác trong

⇒ $I \in AM$

Vậy $A, O, I$ thẳng hàng

c) $ΔIBC$ có:

$IM\perp BC$

$MC = MB$

⇒ $ΔIBC$ cân tại $I$

⇒ $IB = IC$

Ta lại có $OB = OC$

⇒ $BC$ là đường trung trực của $OI$