a) Vì ΔABC cân tại A (gt) 

⇒ AB=AC (t/c)

    ∠ABC=∠ACB (t/c)

   Ta có: ∠ABD = ∠A + ∠ACB (t/c góc ngoài)

            ∠ACE  = ∠A + ∠ABC  (t/c góc ngoài)

    mà ∠ACB=∠ABC (cmt)

   Xét ΔABD và ΔACE có:

      AB=AC (cmt)

      ∠ABD=∠ACE (cmt)

      BD=CE (gt)

⇒ΔABD = ΔACE (c.g.c)

⇒AD=CE (2 cạnh t/ứng)

⇒ΔADE cân tại A

b) Vì M là trung điểm BC (gt)

⇒BM=CM(t/c)

Ta có: EC+CM=EM

          DB+BM=DM

mà BM=CM(cmt)

      EC=DB (gt)

⇒EM=DM

⇒M là trung điểm của DE

⇒AM là đường trung tuyến của ΔADE

mà ΔADE cân tại A (câu a)

⇒AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác và đường cao(t/c)

⇒$\left \{ {{AM là tia phân giác ∠DAE} \atop {AM⊥DE}} \right.$

c) Vì ΔABD = ΔACE(câu b)

⇒ ∠BAD=CAE (2 góc t/ứng) hay ∠BAH=CAK

Xét Δ vuông BAH và Δ vuông CAK có:

    ∠BAH=CAK

    AB=AC

    ∠BHA=∠CKA=90*

⇒Δ vuông BAH = Δ vuông CAK (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒BH=CK (2 cạnh t/ứng)

d) Gọi giao điểm của AC và KH là I, giao điểm của AB và KH là T

Vì Δ vuông BAH = Δ vuông CAK (câu c)

⇒AH=AK (2 cạnh t/ứ)

  ∠ABH=ACK(2 cạnh t/ứ) hay ∠TBH=∠ICK

⇒ΔAKH cân tại A

⇒∠AKH=∠AHK(t/c)

Ta có: ∠AKH + ∠CKH = ∠AKC = 90*

          ∠AHK + ∠BHK = ∠AHB = 90*

mà ∠AKH=∠AHK(cmt)

⇒∠CKH=∠BHK hay ∠CKI=∠BHT

Xét ΔKIC và ΔHTB có:

      ∠ICK=∠TBH

      ∠CKI=∠BHT

⇒∠KIC=∠HTB (đlí tổng 3 góc bằng 180 độ)

mà ∠KIC=∠AIT (2 góc đối đỉnh)

      HTB=ATI   (_______________)

⇒ΔAIT cân tại A

⇒∠AIT=$\frac{180-∠A}{2}$ 

  ∠ACB=$\frac{180-∠A}{2}$ (vì ΔACB cân tại A )

⇒∠AIT=∠ACB

mà 2 góc ở vị trí đồng vị

⇒HK//BC