Đáp án:

$a)$ Vì tứ giác $ABCD$ là hình thoi 

$⇒ AB=CB $

$⇒$ Góc $A =$ góc $C$ (góc đối trong hình thoi)

Ta có: $BM⊥AD ⇒$  Góc $AMB=90 $độ 

$BN⊥CD ⇒$ Góc $CNB = 90$ độ 

Xét $ΔMBA$ và $ΔNBC,$ có: 

$AB=CB$ (chứng minh trên)

Góc $A =$ góc $C$ (chứng minh trên)

Góc $AMB=$góc $CNB(=90$ độ$)$

$⇒ ΔMBA=ΔNBC (g-c-g)$

$⇔ BM=BN $(2 cạnh tương ứng)

$b)$ Vì tứ giác $ABCD$ là hình thoi $⇒ AC⊥BD$ (2 đường chéo hình thoi) 

Gọi $I$ là trung điểm của hai đường chéo $AC, BD (1)$

$⇒$ Góc $AIB=$ góc $BIC=90$ độ 

$⇒ BI⊥AC$

Hay $BD⊥HK $

$⇒$ Tứ giác $BHDK$ là hình thoi ($2$ đường chéo vuông góc với nhau)

$c)$ Vì tứ giác $BDHK$ là hình thoi

$⇒ DI$ là phân giác góc $D$ (đường chéo là phân giác của góc) $(2)$

$⇒ BH=HD=DK=KB$ (4 cạnh hình thoi)

Hay $DH=DK ⇒$ tam giác $DHK$ cân tại $D (3)$

Từ $(2)$ và $(3) ⇒ DI⊥MN$ (trong tam giác cân, đường phân giác là đường trung tuyến) 

Mà $B,I,D$ thẳng hàng 

$⇒ MN⊥BD$

BẠN THAM KHẢO NHA!!!