Giả sử: 

$\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ ≥ $\frac{4}{a+b}$ 

⇔ $\frac{b}{ab}$ + $\frac{a}{ab}$ ≥ $\frac{4}{a+b}$ 

⇔ $\frac{b(a+b)}{(ab(a+b)}$ + $\frac{a(a+b)}{ab(a+b)}$ ≥ $\frac{4ab}{ab(a+b)}$ 

Quy đồng khử mẫu 2 vế bất phương trình ta được: 

b(a+b) + a(a+b) ≥ 4ab 

⇔ ab + b² + a² + ab - 4ab ≥ 0

⇔ a² - 2ab + b² ≥ 0

⇔ (a-b)² ≥ 0 với ∀ x ∈ R

Vậy $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ ≥ $\frac{4}{a+b}$  (đpcm)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

C1 :

Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có :
a+b lớn hơn hoặc bằng 2 căn ab
1/a + 1/b lớn hơn hoặc bằng 2 / căn ab
nhân từng vế của 2 bdt trên=> (a+b)(1/a + 1/b) lớn hơn hoặc bằng 4
=>1/a + 1/b lớn hơn hoặc bằng 4/a+b

=>đpcm

C2 :

1/a + 1/b lớn hơn hoặc bằng 4/(a+b)
<=> (a+b)/ab lớn hơn hoặc bằng4/(a+b)
<=>(a+b)^2 lớn hơn hoặc bằng 4ab
<=>(a-b)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 (luôn đúng )

=>đpcm