Đáp án:

a) Trong tam giác ABC có:

$\begin{array}{l}
\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\\
 \Rightarrow \widehat B = {180^0} - {75^0} - {45^0} = {60^0}\\
Trong:\Delta AHB:\widehat {AHB} = {90^0}\\
 \Rightarrow \widehat {BAH} = {30^0}\\
 \Rightarrow BH = \frac{{AB}}{2} = 5\left( {cm} \right)\\
Theo\,Pytago:A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\\
 \Rightarrow A{H^2} = {10^2} - {5^2} = 75\\
 \Rightarrow AH = 5\sqrt 3 \left( {cm} \right)\\
Trong:\Delta AHC \bot tai\,H\\
 \Rightarrow \tan \widehat C = \tan {45^0} = \frac{{AH}}{{HC}} = 1\\
 \Rightarrow HC = AH = 5\sqrt 3 \\
 \Rightarrow AC = 5\sqrt 3 .\sqrt 2  = 5\sqrt 6 \left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC\\
 = \frac{1}{2}.5\sqrt 3 .\left( {5 + 5\sqrt 3 } \right)\\
 = \frac{{25\sqrt 3  + 75}}{2}\left( {c{m^2}} \right)\\
b)Xét:\Delta AHC;\Delta AFH:\\
 + \widehat {AHC} = \widehat {AFH} = {90^0}\\
 + \widehat {FAH}\,chung\\
 \Rightarrow \Delta AHC \sim \Delta AFH\left( {g - g} \right)\\
 \Rightarrow \frac{{AH}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AH}}\\
 \Rightarrow A{H^2} = AC.AF\\
Tương\,tự:A{H^2} = AB.AE\\
 \Rightarrow AB.AE = AC.AF
\end{array}$

c) Trong tam giác AHF vuông tại F có: M là trung điểm cạnh huyền

=> AM = MH = MF = AH/2

Tương tự trong tg AEH vuông tại E

=> AM  = MH = ME = AH/2

=> MF = ME

=> tg MEF cân tại M

Có MN là đường trung tuyến

=> MN đồng thời là đường cao

=> MN vuông góc EF.