Gọi d = ƯC (21n + 3; 6n + 4) (d là số nguyên tố vì nếu tử và mẫu có chung ước thì sẽ có chung các uơcs nguyên tố )

=>21n + 3 chia hết cho d; 6n + 4 chia hết cho d

=> 7. (6n +4) - 2.(21n +3) chia hết cho d

Hay 22 chia hết cho d; d nguyên tố nên d =2 hoặc 11

+) d => 2=> 21n + 3 chia hết cho 2 và 6n + 4 chia hết cho 2 (luôn đúng)

Chỉ cần 21n +3 chia hết cho 2 => n lẻ

+) d = 11 : để 21n + 3 chia hết cho 11 => 22n - - n + 3 chia hết cho 11

=>n -3chia hết cho 11=>n = 3 + 11k

=> 6n + 4 = 6(3 + 11k) + 4 = 66k + 22 chia hết cho 11

Vậy n = 3 + 11k hoặc n lẻ thì A rút gọn được

 

Gọi `d` là ước chung của tử và mẫu (với `d ∈ P` do hai số luôn có ước chung nguyên tố)

`⇒21n+3\vdotsd ; 6n+4\vdotsd`

`⇒2(21n+3)\vdotsd;7(6n+4)\vdotsd`

`⇒7(6n+4)-2(21n+3)\vdotsd`

`⇔22\vdotsd`

mà `d` nguyên tố 

`⇒d=2;11 `

*)Với `d=2`

`⇒21n+3\vdots2;6n+4\vdots2`

mà `6n+4` chẵn còn `21n+3` lẻ 

`⇒21n+3\vdots2`

mà `3` lẻ 

`⇒21n` lẻ 

mà `21` lẻ 

`⇒n` lẻ 

*) Với `d=11`

`⇒21n+3\vdots11`

`⇒22n-(n-3)\vdots11`

`⇒(n-3)\vdots11`

`⇒n` có dạng `11a+3` (với `a∈N`)

mà `6n+4\vdots11`

`⇒6(11a+3)+4\vdots11`

`⇒66a+18+4 \vdots11`

`⇔22(3a+1) \vdots11` (luôn đúng)

Vậy với `n` lẻ hoặc `n` có dạng `11a+3` thì phân số A rút gọn được