Đặt $F(x,y) = \bigg(x+\dfrac{1}{x}\bigg)^2+\bigg(y+\dfrac{1}{y}\bigg)^2$

$ = x^2+\dfrac{1}{x^2}+2+\dfrac{y^2}+\dfrac{1}{y^2}+2$

$ = 4+(x^2+y^2)+\bigg(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\bigg)$

Vì $(x-y)^2 ≥ 0 $

$⇔ x^2+y^2 ≥ 2xy$

$⇔ \left\{ \begin{array}{l}2.(x^2+y^2)≥(x+y)^2\\(x+y)^2≥4xy\end{array} \right.$ 

$⇔ \left\{ \begin{array}{l}x^2+y^2≥\dfrac{(x+y)^2}{2} = \dfrac{1}{2}\\xy ≤ \dfrac{(x+y)^2}{4} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$ 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho hai số ta được :

$\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2} ≥ 2\sqrt[]{\dfrac{1}{x^2y^2}} = \dfrac{2}{xy} ≥ \dfrac{2}{\dfrac{1}{4}} = 8$

Do đó :

$F(x,y) = 4+(x^2+y^2)+\bigg(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\bigg) ≥  4+\dfrac{1}{2}+8 = \dfrac{25}{2}$

Dấu "=" xảy ra $⇔x=y=\dfrac{1}{2}$

Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{25}{2}$ tại $x=y=\dfrac{1}{2}$

Khi cho các giá trị x, y>0 bạn nên nghĩ ngay tới bất đẳng thức cosi vì thường chúng ta rất hay sd chúng để giải các bài toán dạng này mà.

P= x^2 +1/ x^2+ 2 +y^2+ 1/y^2 +2 (*)

áp dụng bđt cosi cho các số dương x^2; y^2 và 1/x^2 và 1/y^2 được x^2+y^2 >= 2xy (1) và 1/X^2 +1/y^2 >=2/xy (2)

thay vào (*) P >= 4+2xy+2/(xy) (**)

Do x,y>0 áp dụng bđt cosi cho 2 số dương 2xy và 2/ (xy) ta được 2xy+2/(xy)>=2 căn (2xy . 2/(xy))=2 (3) thay trở lại (**) được P>= 4+2=6

Dấu bằng sảy ra khi dấu bằng ở (1)(2)(3) cùng đồng thời sảy ra tức là (1) x=y; (2) 1/x=1/y ;(3) xy=1/(xy) => x=y

Vậy GTNN của biểu thức là 6 sảy ra khi x=y

good luck