Vì vai trò của `a,b,c` như nhau ta giả sử: 

`a\geb\gec>0`

`⇒ 1/c \ge 1/b \ge 1/a`

`⇒ 1/c + 1/b + 1/a \le 1/c + 1/c + 1/c`

`⇔ 4/5 \le 3/c`

`⇒ 4c \le 15 `

`⇔ c \le 15:4`

`⇔ c \le 3,75`

Mà `c∈NN**⇒ c∈{1;2;3}.`

Ta có `3` trường hợp:

`TH_1:`

`c=1` `⇒ 1/a + 1/b + 1 = 4/5`

`⇔1/a+1/b=4/5-1`

`⇔1/a+1/b=-1/5`

Mà `a,b∈NN**⇒ 1/a + 1/b >0`

Mà `-1/5 <0` `⇒1/a+1/b=-1/5⇒` vô lý.

Vậy ta loại trường hợp `c=1.`

`TH_2:`

`c=2 ⇒ 1/a+1/b + 1/2 = 4/5`

`⇔ 1/a+1/b = 4/5 - 1/2`

`⇔1/a+1/b= 3/10`

Ta có: ` 1/b \ge 1/a` $(cmt)$

`⇒ 1/a+1/b \le  1/b+ 1/b`

`⇔ 3/10 \le  2/b `

`⇒3b\le2.10`

`⇔ b \le 2.10:3`

`⇒ b\le 6,666...`

Mà `b∈NN**⇒ b∈{1;2;3;4;5;6}.`

Ta có `6` trường hợp:

Vì `a∈NN**⇒1/a>0.`

`+) b=1 ⇒ 1/a + 1/1 + 1/2 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/1 - 1/2  = -7/10` (loại, vì `1/a < 0` )

`+) b=2  ⇒ 1/a + 1/2 + 1/2 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/2 - 1/2  = -1/5` (loại, vì `1/a < 0` )

`+) b=3  ⇒ 1/a + 1/3 + 1/2 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/3 - 1/2  = -1/30` (loại, vì `1/a < 0` )

`+) b=4  ⇒ 1/a + 1/4 + 1/2 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/4 - 1/2  = 1/20⇒ a=20` (nhận) 

`+) b=5  ⇒ 1/a + 1/5 + 1/2 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/5 - 1/2  = 1/10⇒ a=10` (nhận) 

`+) b=6  ⇒ 1/a + 1/5 + 1/2 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/6 - 1/2  = 2/15⇒ a=7,5` (loại, vì `a∉NN**` )

`TH_3:`

`c=3 ⇒ 1/a+1/b + 1/3 = 4/5`

`⇔ 1/a+1/b = 4/5 - 1/3`

`⇔1/a+1/b= 7/15`

Ta có: ` 1/b \ge 1/a` $(cmt)$

`⇒ 1/a+1/b \le  1/b+ 1/b`

`⇔ 7/15 \le  2/b `

`⇒7b\le2.15`

`⇔ b \le 2.15:7`

`⇒ b\le 4,285...`

Mà `b∈NN**⇒ b∈{1;2;3;4}.`

Ta có `4` trường hợp:

Vì `a∈NN**⇒1/a>0.`

`+) b=1 ⇒ 1/a + 1/1 + 1/3 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/1 - 1/3  = -8/15` (loại, vì `1/a < 0` )

`+) b=2  ⇒ 1/a + 1/2 + 1/3 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/2 - 1/3  = -1/30` (loại, vì `1/a < 0` )

`+) b=3  ⇒ 1/a + 1/3 + 1/3 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/3 - 1/3  = 2/15⇒ a=7,5` (loại, vì `a∉NN**` )

`+) b=4  ⇒ 1/a + 1/4 + 1/3 = 4/5 ⇔ 1/a = 4/5 - 1/4 - 1/3  = 13/60⇒ a=60/13` (loại, vì `a∉NN**` )

Vậy ta có các cặp `(a,b,c)` thỏa mãn: `(2;4;20);(2;5;10)` và các hoán vị của chúng.

Đáp án:

`(a,b,c)=(2,4,20)`

Giải thích các bước giải:

Giả sử: `a/b<1=>a/b=1/(k+1)+(a-r)/(b(k+1))`

Trong đó: `k` là thương của `b` cho `a`

Và: `r` là số dư của phép chia `b` cho `a`.

Theo đề ta có:

`1/a+1/b+1/c=4/5`

`=>a=2` và `b=4` và `c=20`

Vậy `(a,b,c)=(2,4,20)`