Bài 12

Xét hso

$y = \dfrac{1}{3} x^3 - mx^2 + (m-7)x +5$

Ta có

$y' = x^2 - 2mx + m-7$

Để hso nghịch biến trên $[-1,3]$ thì ta phải có $y' < 0$ trên $[-1, 3]$. Ta có

$\Delta' = m^2 - m + 7 > 0$ với mọi $m$.

Do đó ptrinh luôn có 2 nghiệm và kết hợp vs đk ta có

$m - \sqrt{m^2 - m + 7} \leq -1$ và $m + \sqrt{m^2 - m + 7} \geq 3$

Bước 1: $m - \sqrt{m^2 - m + 7} \leq -1$

Bptrinh trên tương đương vs

$m + 1 \leq \sqrt{m^2 - m + 7}$

TH1: Với $m < -1$ thì bptrinh trên đúng với mọi $m$.

TH2: Với $m \geq -1$, bình phương 2 vế ta có

$m^2 + 2m + 1 \leq m^2 - m + 7$

$<-> 3m \leq 6$

$<-> m \leq 2$

Kết hợp vs đk trên ta có $-1 \leq m \leq 2$

Suy ra $m \in \{-1, 0, 1, 2\}$.

Bước 2: $m + \sqrt{m^2 - m + 7} \geq 3$

Bptrinh trên tương đương vs

$\sqrt{m^2 - m + 7} \geq 3-m$

TH1: Với $m > 3$ thì bptrinh trên đúng với mọi $m$.

TH2: Với $m \leq 3$, bình phương 2 vế ta có

$m^2 - m + 7 \geq m^2 - 6m + 9$

$<-> 5m \geq 2$

$<-> m \geq \dfrac{2}{5}$

Kết hợp vs đk trên ta có $\dfrac{2}{5} \leq m \leq 3$

Vậy $m \in \{1, 2, 3\}$

Lấy giao của hai tập hợp trên ta có

$m \in \{1, 2\}$.

Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$.

Đáp án B.