@UCKSWT

a)Xét ΔABH và ΔACH có:

    ∠AHB=∠AHC=90 độ (AH⊥BC)(gt)

    AB=AC (ΔABC cân tại A)(gt)
    Cạnh AH chung

`->`ΔABH=ΔACH (ch-cgv)

`->`BH=CH (2 cạnh tương ứng)

Vậy BH=CH (đpcm)
b)Vì BH=CH(cmt)

`->`H là trung điểm của BC

`->`BH=CD=`(BC)/2`=`8/2`=4cm

Xét ΔAHC có ∠AHC=90 độ (AH⊥BC)(gt)

`->`AC²=HA²+HC² (định lí Pitago)

`->`AC²=3²+4²

`->`AC²=9+16=25

`->`AC=5cm(nhận) hoặc AC=-5cm (loại vì AC>0)
Vậy AC=5cm

c)Ta có:ΔABH=ΔACH (cmt)

`->`∠BAH=∠CAH (2 góc tương ứng)(1)

mà E∈AB (gt)(2)
       D∈AC(gt)(3)

Từ (1)(2)(3)`->`∠EAH=∠DAH

Xét ΔAEH và ΔADH có:
      ∠AEH=∠ADH=90 độ (HE⊥AB;HD⊥AC)(gt)

       Cạnh AH chung

        ∠EAH=∠DAH(cmt)

`->`ΔAEH=ΔADH (ch-gn)

`->`AE=AH (2 cạnh tương ứng)

Vậy AE=AH (đpcm)

d)Gọi giao điểm của AH và ED là I
Vì ∠EAH=∠DAH (cmt)

mà I∈AH (cách gọi)

`->`∠EAI=∠DAI

Xét ΔAEI và ΔADI có:

         AE=AD(cmt)

        ∠EAI=∠DAI(cmt)

        Cạnh AI chung

`->`ΔAEI=ΔADI (c-g-c)

`->`IE=ID (2 cạnh tương ứng)(4)

và ∠AIE=∠AID (2 góc tương ứng)

mà ∠AIE+∠AID=180 độ (2 góc kề bù)

`->`∠AIE=90 độ

`->`AI⊥EH (5)
Từ (4)(5)`->`ED là đường trung trực của AH (đpcm)