Đáp án:

$|z_1-z_2| = 1$

Giải thích các bước giải:

Cách 1: Phương pháp hình học

Gọi $A;\ B;\ C$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $z_1;\ z_2;\ z_1 + z_2$ trên mặt phẳng phức.

$\Rightarrow \begin{cases}OACB\ \text{là hình bình hành}\\OA = 1\\OB =\sqrt2\\OC =\sqrt5\\AB = |z_1 - z_2|\end{cases}$

Gọi $I$ là giao điểm hai đường chéo

$\Rightarrow OI =\dfrac12OC =\dfrac{\sqrt5}{2}$

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến $OI$ kẻ từ đỉnh $O$ của $\triangle OAB:$

$\quad OI^2 =\dfrac{2(OA^2 + OB^2) - AB^2}{4}$

$\Leftrightarrow AB^2 = 2(OA^2 + OB^2) - 4OI^2$

$\Leftrightarrow AB^2 = 1$

$\Rightarrow AB = 1$

Vậy $|z_1-z_2| = 1$

Cách 2: Phương pháp đại số

Ta có:

$\quad |z_1+z_2|= \sqrt5$

$\Leftrightarrow |z_1+z_2|^2 = 5$

$\Leftrightarrow |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2= 5$

$\Leftrightarrow 1^2 + \left(\sqrt2\right)^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2= 5$

$\Leftrightarrow z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 = 2$

Khi đó:

$\quad |z_1-z_2|$

$=\sqrt{|z_1-z_1|^2}$

$=\sqrt{|z_1|^2 + |z_2|^2 - \left(z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2\right)}$

$=\sqrt{1^2 + \left(\sqrt2\right)^2 - 2}$

$= 1$

Vậy $|z_1-z_2|=1$