Đáp án:

$ - \frac{{11}}{3} \le m \le  - \frac{2}{3}$

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}{x^2} - 4x + 6 + 3m = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 6 =  - 3m\end{array}\)

Số nghiệm của phương trình (*) trên \(\left[ { - 1;\,3} \right]\)  là số giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x + 6\) và đường thẳng \(y =  - 3m\) trên \(\left[ { - 1;\,\,3} \right].\)

Xét hàm số: \(y = {x^2} - 4x + 6\) trên \(\left[ { - 1;\,\,3} \right]\) ta có:

Đồ thị hàm có đỉnh là: \(I\left( {2;\,\,2} \right)\) và đồ thị hàm số như hình vẽ.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm trên \(\left[ { - 1;\,\,3} \right] \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y =  - 3m\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4x + 6\) trên \(\left[ { - 1;\,\,3} \right]\)

\( \Leftrightarrow 2 \le  - 3m \le 11 \Leftrightarrow  - \frac{{11}}{3} \le m \le  - \frac{2}{3}.\)