Đáp án:

Độ dài đường sinh của hình nón là \(l = a\sqrt 2 \).

Giải thích các bước giải:

Đặt \(SA = x\).

Tam giác \(SAB\) có \(\left\{ \begin{array}{l}SA = SB\\\widehat {SAB} = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta SAB\) đều.

\( \Rightarrow AB = SB = x\).

Gọi E là trung điểm của AB ta có \(SE \bot AB\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SE\\AB \bot OE\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOE} \right)\).

Trong (SOE) kẻ \(OH \bot SE\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SE\\OH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Xét tam giác vuông SAO có:

\(SO = SA.\sin {30^0} = \dfrac{1}{2}x\), \(OA = SA.\cos {30^0} = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác vuông OAE có:

\(OE = \sqrt {O{A^2} - A{E^2}}  = \sqrt {\dfrac{{3{x^2}}}{4} - \dfrac{{{x^2}}}{4}}  = \dfrac{{x\sqrt 2 }}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOE có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{E^2}}}\\\dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{x\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{{a^2}}} = \dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{{{x^2}}} = \dfrac{6}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là \(l = a\sqrt 2 \).