a) Xét $ΔABD$ và $ΔHBD$:

$BD$ chung

$BAD=BHD=90^o$

$ABD=HBD$ ($BD$ là phân giác $B$)

⇒ $ΔABD=ΔHBD$ (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ $AD=HD$ (2 cạnh tương ứng)

b) Xét $ΔBKC$:

$CA$ và $KH$ là đường cao của $BK$ và $BC$

mà $CA∩KH≡D$

⇒ $D$ là trực tâm $ΔBKC$

c) Xét $ΔADK$ và $ΔHDC$:

$AD=HD$ (cmt)

$KAD=CHD=90^o$

$ADK=HDC$ (đối đỉnh)

⇒ $ΔADK=ΔHDC$ (g-c-g)

⇒ $KA=HC$ (2 cạnh tương ứng) mà $AB=HB$ ($ΔABD=ΔHBD$)

⇒ $AB+KA=HB+HC$ hay $BK=BC$

⇒ $ΔBKC$ cân 

c) Giả sử: $BH∩AC≡E$ mà $D$ là trực tâm ⇒ $BD$ hay $BE$ là đường cao $KC$

$ΔBKC$ cân tại $B$ mà $BE$ là phân giác $B$

⇒ $BE$ là trung trực $KC$

⇒ $KE=CE$

Áp dụng bất đẳng thức Δ vào $ΔKAD$:

$AD+AK>KD$ (1)

Xét $ΔKDE$: 

$KD>KE$ (cạnh huyền>cạnh góc vuông) (2)

Từ (1) và (2) ⇒ $AD+AK>KE$

⇒ $2(AD+AK)>2.KE$

⇒ $2(AD+AK)>KC$