Đáp án: $28$ ngày và $21$ ngày

Giải thích các bước giải:

Gọi thời gian mỗi đội cày 1 mình để xong cánh đồng là $x,y\left( {x,y > 0} \right)$ (ngày)

Trong 1 ngày mỗi đội làm được $\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y}$ (công việc)

Hai đội cùng làm xong trong 12 ngày nên:

$12.\dfrac{1}{x} + 12.\dfrac{1}{y} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}$

Lại có đội 1 làm một mình 8 ngày rồi nghỉ, đội 2 làm tiếp một mình thì 15 ngày nữa là cày xong nên:

$\begin{array}{l}
8.\dfrac{1}{x} + 15.\dfrac{1}{y} = 1\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\\
8.\dfrac{1}{x} + 15.\dfrac{1}{y} = 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8.\dfrac{1}{x} + 8.\dfrac{1}{y} = \dfrac{8}{{12}} = \dfrac{2}{3}\\
8.\dfrac{1}{x} + 15.\dfrac{1}{y} = 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
7.\dfrac{1}{y} = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\\
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{y}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{21}}\\
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{y}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 21\\
\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{12}} - \dfrac{1}{{21}} = \dfrac{1}{{28}}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 21\\
x = 28
\end{array} \right.\left( {tm} \right)
\end{array}$

Vậy mỗi đội cày 1 mình thì xong cánh đồng trong $28$ ngày và $21$ ngày