a) Ta có: $IB = IC \, (gt)$

$IH = IM \, (gt)$

$I \in BC; \, I \in HM$

$\Rightarrow BHCM$ là hình bình hành

b) Do $BHCM$ là hình bình hành

nên $CH//BM$

mà $CH\perp AB \, (CE\perp AB)$

$\Rightarrow BM\perp AB$

c) Chứng minh tương tự câu b, ta được: $CM\perp AC \, (CM//BH)$

Xét tứ giác $ABKM$ có:

$\widehat{ABM} = 90^o \, (BM\perp AB)$

$\widehat{AKM} = 90^o \, (MK\perp AH)$

Do đó $ABKM$ nội tiếp

hay $A, B, K, M$ cùng thuộc một đường tròn

Chứng minh tương tự, ta được: $ACMK$ nội tiếp

$\Rightarrow A, C, M, K$ cùng thuộc một đường tròn

Do đó $A, B, K, M, C$ cùng thuộc một đường tròn

Ta có: $\widehat{AKB} = \widehat{ACB}$ (cùng chắn $\overparen{AB}$)

mà $\widehat{ABC} = \widehat{BHK}$ (cùng phụ $\widehat{DBC}$)

nên $\widehat{AKB} = \widehat{BHK}$

hay $\widehat{HKB} = \widehat{BHK}$

$\Rightarrow ΔBHK$ cân tại $B$

Gọi $N$ là giao điểm của $AH$ và $BC$

Ta được $BN\perp HK$

mà $ΔBHK$ cân tại $B$ $(cmt)$

$\Rightarrow HN=NK$

$\Rightarrow K$ đối xứng với $H$ qua $BN$

hay $K$ đối xứng với $H$ qua $BC$

d) $K$ đối xứng với $H$ qua $BC$

$\Rightarrow BC$ là trung trực của $HK$

$\Rightarrow CH = CK$

mà $CH = MB$ ($BHCM$ là hình bình hành)

$\Rightarrow CK = MB$ $(1)$

Ta lại có: $MK//BC \, (\perp AH)$

$\Rightarrow MKBC$ là hình thang đáy $MK, \, BC$ $(2)$

$(1)(2) \Rightarrow BKMC$ là hình thang cân