`a)` Có: $AB//EF(gt)$, mà $AB//CD(gt)⇒AB//EF//CD.$

Xét `∆ACD` và `∆BCD` có:

- Chung đáy `CD`

- Chiều cao hạ từ `A` xuống (vuông góc) với `BC` bằng chiều cao hạ từ `B` xuống (vuông góc) với `BC`

`⇒S_{ACD}=S_{BCD}` 

`⇔S_{ACD}-S_{COD}=S_{BCD}-S_{COD}` 

`⇔S_{AOD}=S_{BOC}`

Vậy  `S_{AOD}=S_{BOC}` $(dpcm).$

`b)∆ACD` có $OE//CD$ (vì $EF//CD,O∈EF$)

`⇒\frac{OE}{CD}=\frac{OA}{AC}` (định lý $Ta-let$)

`∆CBD` có $OF//CD$ (vì $EF//CD,O∈EF$)

`⇒\frac{OF}{CD}=\frac{OB}{BD}` (định lý $Ta-let$)

`∆ABD` có $OE//AB$ (vì $EF//AB,O∈EF$)

`⇒\frac{OE}{AB}=\frac{OD}{BD}` (định lý $Ta-let$)

`∆ABC` có $OF//AB$ (vì $EF//AB,O∈EF$)

`⇒\frac{OF}{AB}=\frac{OC}{AC}` (định lý $Ta-let$)

Ta cộng tổng:

`\frac{OE}{CD}+\frac{OF}{CD}+\frac{OE}{AB}+\frac{OF}{AB}=\frac{OA}{AC}+\frac{OB}{BD}+\frac{OD}{BD}+\frac{OC}{AC}`

`⇔(\frac{OE}{CD}+\frac{OE}{AB})+(\frac{OF}{CD}+\frac{OF}{AB})=(\frac{OA}{AC}+\frac{OC}{AC})+(\frac{OB}{BD}+\frac{OD}{BD})`

`⇔OE.(\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB})+OF.(\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB})=\frac{AC}{AC}+\frac{BD}{BD}`

`⇔(\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB})(OE+OF)=1+1`

`⇔(\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB}).EF=2`

`⇒\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB}=2/{EF}.`

Vậy `\frac{1}{CD}+\frac{1}{AB}=2/{EF}.`

`c)` Từ `E` ta kẻ trung tuyến `EG` của `∆DEF`, vẽ đường cao hạ `AH` `(AH∩DF=H)`

Ta xét `∆EGF` và `∆EGD` có:

- Chung đường cao `AH` hạ từ đỉnh `A`

- Đáy `DG=GF` (vì có trung tuyến `EG` của `∆DEF` `⇔``G` là trung điểm của `DF`)

`⇒S_{EGF}=S_{EGD}.`

- Nối `KG`. Từ `E` kẻ đường thẳng $EI//KG(I∈DF)$. Gọi `L` là giao điểm của `IK` và `EG`.

Ta xét `∆KEI` và `∆GEI` có:

- Chung chiều cao hạ từ `K` và `G` xuống đáy `EI`

- Chung đáy `EI.`

`⇒S_{KEI}=S_{GEI}` 

`⇔S_{KEI}-S_{ELI}=S_{GEI}-S_{ELI}` 

`⇒S_{ELK}=S_{GLI}`

Ta có:  

`S_{EGF}=S_{EGD}.`

`⇒S_{EGF}-S_{GLI}+S_{ELK}=S_{EGD}+S_{GLI}-S_{ELK}`

`⇒S_{EKID}=S_{KIF}`

`⇒` Đường thẳng cần tìm là `IK.`

Hình tham khảo:

`=>` Bạn xem hình