Đáp án:

 

Giải thích các bước giải: Vắn tắt chút

Căn cứ đồ thị $ ⇒ f'(x) = ax³ + bx² + cx + d( a > 0) $

$f'(0) = 0 ⇔ d = 0 ⇔ f'(x) = ax³ + bx² + cx$

$f'(-2) = 1 ⇔ - 8a + 4b - 2c = 1 (1)$

$f'(4) = - 2 ⇔ 64a + 16b + 4c = - 2 (2)$

Giải hệ $(1); (2) ⇒ b = - 2a; c = - \frac{1}{2}(16a + 1)$

$ ⇒ f'(x) = ax³ - 2ax² - \frac{1}{2}(16a + 1)x$

$ ⇒ f(x) = \frac{1}{4}ax^{4} - \frac{2}{3}ax³ - \frac{1}{4}(16a + 1)x²$

$ ⇒ 4f(x) + x² = ax^{4} - \frac{8}{3}ax³ - 16ax² = \frac{1}{3}ax²(3x² - 8x - 48)$

$ ⇒ g(x) = |4f(x) + x²| = \frac{1}{3}ax²|3x² - 8x - 48| ( a > 0)$

@ Nếu $ x < \frac{4}{3}(1 - \sqrt[]{10}); x > \frac{4}{3}(1 + \sqrt[]{10})$ 

$ ⇒ g(x) = \frac{1}{3}ax²(3x² - 8x - 48) $

$ ⇒ g'(x) = 4ax³ - 8ax² - 32ax = 4ax(x + 2)(x - 4)$

@ Nếu $ \frac{4}{3}(1 - \sqrt[]{10}) ≤ x ≤ \frac{4}{3}(1 + \sqrt[]{10})$ 

$ ⇒ g(x) = - \frac{1}{3}ax²(3x² - 8x - 48) $

$ ⇒ g'(x) = - (4ax³ - 8ax² - 32ax) = - 4ax(x + 2)(x - 4)$

$ g(x) = 0 ⇔ x = - 2; x = 0; x = 4$

Lập bảng xét dấu $g(x); g'(x)$ thấy $g'(x) > 0 ∀x ∈ (0; 4)$ (cậu tự lập)

Kết luận $: g(x)$ đồng biến trên khoảng $(0; 4)$

Chú ý : Thực ra $ g(x)$ cũng đồng biến trên các khoảng :

$(\frac{4}{3}(1 - \sqrt[]{10}); - 2); (\frac{4}{3}(1 + \sqrt[]{10}); + ∞)$

nhưng đáp án chỉ lấy chia khoảng theo giá trị nghiệm của $g'(x)$

Đồ thị $ y = g(x)$ có dạng đường liền nét như hình, cái nầy chắc

các cậu biết rõ