a) Xét ΔABC cân tại A có: 

M là trung điểm của AC  (gt)

N là trung điểm của AB   (gt)

⇒ MN là đường trung bình   (định nghĩa đường trung bình trong tam giác)

⇒ MN // BC  

=>Tứ giác BNMC là hình thang(định nghĩa hình thang)

Lại có: ^B=^C (tình chất các góc trong Δ cân)

nên hình thang BMNC là hình thang cân (dấu hiệu nhện biết hình thang cân)

b)

Vì ΔABC cân tại A(gt)

nên ^B=^C=^A/2=80/2=40 độ

Lại có:

BMNC là hình thang cân (theo b) nên ^BNM=^CMN(tính chất các góc trong hình thang cân)(*)

Theo định lí tổng 4 góc của tứ giác ta có:

^B+^BNM+^CMN+^C=360

=> ^BNM+^CMN=360-(^B+^C)

=> ^BNM+^CMN=360-2^B(^B=^C)

=> ^BNM+^CMN=360-2.40=280   (**)

Kết hợp (*) và (**) lại vơi  nhau ta được

^BNM=^CMN=280/2=140độ

Vậy hình thang BNMC có:

^B=^C=40 độ

và ^BNM=^CMN=140 độ

c)

Trong tam giác cân thì đường trung tuyến cũng như là đường phân giác nên 

^ABN=^ACN=^BCN=^CBM=^B/2=^C/2=40/2=20 độ

Xét hai tam giác AMB và ANC có:

^A chung

^ABM=^ACN=20 độ

AB=AC (ΔABC cân tại A)

=>ΔAMB=ΔANC(gcg)

=>^ANC=^AMB(hai góc tương ứng)

=>^ANC=^AMB=180-(80+20)=80 độ

Tứ giác ANOM có:

^A+^N+^O+^M=360 độ(định lí)

=>^O=360-(^A+^N+^M)=360-(80+80+80)=120 độ

Tam giác KOI có:

KN+NO=IM+MO(MO=NO do BNMC là hình thang cân và KN=IM theo giả thiết)

hay KO=IO=>ΔKOI cân tại O(định nghĩa tam giác cân)

=>^OIK=^OKI=^O/2=120/6=60 độ

ΔONM có:

ON=OM(BNMC là hình thang cân)

=>ΔONM cân tại O(dịnh nghĩa)

=>^ONM=^OMN=^O/2=120/2=60 độ

Ta thấy ^KIO=^NOM=60 độ và hai góc này lại ở vị trí đồng vị nên KI║NM

mà NM║BC(BNMC là hình thang cân)

=>KI║BC(cùng ║NM)

Tứ giác BKIC có:

KI║BC(cmt)

=>tứ giác BKIC là hình thang(định nghĩa hình thang)

Hình thang BKIC có:

KN+ON+OC=IM+MO+OB(KN=MI theo gt, MO=NO và BO=OC do BNMC là hình thang cân)

hay KC=IB

mà KI và BI là hai đường chéo của hình thang BKIC nên hình thang BKIC là hình thang cân(dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

 

a) Xét ΔABC cân tại A có: 

M là trung điểm của AC

N là trung điểm của AB

⇒ MN là đường trung bình 

⇒ MN // BC 

Lại có: 

AN = NB = `{AB}/2` 

AM = MC = `{AC}/2` 

Mà: AB = AC

⇒ AN = NB = AM = MC 

Xét tứ giác BNMC có: 

BN = MC

MN // BC

⇒ BNMC là hình thang cân

b) Xét ΔABC có: 

∠ABC = ∠ACB = `{180^0 - 80^0}/2` = `50^0`

Vì: MN // BC

⇒ ∠BNM = ∠CMN =  `180^0` - `50^0` = `130^0`