Trang chủ Toán Học Lớp 12 cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh...

cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a√ 2 và O là tâm của đáy .Gọi M,N,P,Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giá

Câu hỏi :

cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a√ 2 và O là tâm của đáy .Gọi M,N,P,Q lần lượt là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm của các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA, và S' là điểm đối xứng với S qua O. Thể tích của khối chóp S'.MNPQ bằng

Lời giải 1 :

Đáp án:

${V_{S'.MNPQ}} = \dfrac{{5{a^3}}}{{12}}$

Giải thích các bước giải

 Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA.

Gọi J,I,L,K lần lượt là trọng tâm tam giác SAB,SBC,SCD,SDA.

+)Ta có:

$\dfrac{{SJ}}{{SE}} = \dfrac{{SK}}{{SH}} = \dfrac{{SI}}{{SF}} = \dfrac{{SL}}{{SG}} = \dfrac{2}{3}$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
JI//KL//\left( {ABCD} \right)\\
JK//IL//\left( {ABCD} \right)
\end{array} \right.$

$ \Rightarrow JILK$ là hình bình hành.

Mặt khác:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{JI}}{{EF}} = \dfrac{{IL}}{{FG}} = \dfrac{{SJ}}{{SE}} = \dfrac{2}{3}\\
 \Rightarrow \dfrac{{{S_{JILK}}}}{{{S_{EFGH}}}} = {\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{4}{9}
\end{array}$

Mà $ABCD$ là hình vuông cạnh $a $ nên $EFGH$ là hình vuông cạnh $\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$ \Rightarrow {S_{JILK}} = \dfrac{4}{9}{S_{EFGH}} = \dfrac{4}{9}{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{{2{a^2}}}{9}$

+)Ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{OJ}}{{OM}} = \dfrac{{OI}}{{ON}} = \dfrac{{OL}}{{OP}} = \dfrac{{OK}}{{OQ}} = \dfrac{1}{2}\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
MN//PQ//\left( {ABCD} \right)\\
MQ//NP//\left( {ABCD} \right)
\end{array} \right.
\end{array}$

$ \Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành và $\left( {MNPQ} \right)//\left( {JILK} \right)$

Mà $\dfrac{{JI}}{{MN}} = \dfrac{{NP}}{{IL}} = \dfrac{1}{2}$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{{S_{JILK}}}}{{{S_{MNPQ}}}} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\\
 \Rightarrow {S_{MNPQ}} = 4{S_{JILK}}
\end{array}$

$ \Rightarrow {S_{MNPQ}} = \dfrac{8}{9}{a^2}$

+) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta SOA;\widehat {SOA} = {90^0};SA = a\sqrt 2 ;AO = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\
 \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}
\end{array}$

$ \Rightarrow SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{SJ}}{{SE}} = \dfrac{2}{3}\\
 \Rightarrow \dfrac{{d\left( {S,\left( {JILK} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \dfrac{2}{3}\\
 \Rightarrow \dfrac{{d\left( {O,\left( {JILK} \right)} \right)}}{{SO}} = \dfrac{1}{3}\\
 \Rightarrow d\left( {O,\left( {JILK} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{OJ}}{{OM}} = \dfrac{1}{2}\\
 \Rightarrow \dfrac{{d\left( {O,\left( {JILK} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {MNPQ} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{2}\\
 \Rightarrow d\left( {O,\left( {MNPQ} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {JILK} \right)} \right) = 2.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\\
 \Rightarrow d\left( {S,\left( {MNPQ} \right)} \right) = SO - d\left( {O,\left( {MNPQ} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}
\end{array}$

$\Rightarrow d(S',(MNPQ))= 2SO-d(S,(MNPQ))=\dfrac{{5a\sqrt 6 }}{6}$

+) Như vậy:

${V_{S'.MNPQ}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S',\left( {MNPQ} \right)} \right).{S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{5a\sqrt 6 }}{6}.\dfrac{{8{a^2}}}{9} = \dfrac{{5{a^3}}}{{12}}$

Vậy ${V_{S'.MNPQ}} = \dfrac{{5{a^3}}}{{12}}$

image

Thảo luận

-- nhưng đề bảo tính S'.MNPQ
-- Cảm ơn bạn nhé, mình sẽ sửa lại liền.
-- :))
-- Bạn vào kiểm tra lại nhé, mình vừa sửa rồi đó
-- đáp án bằng cuối bạn bấm sai kết quả rùi

Bạn có biết?

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".

Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thư

Tâm sự 12

Lớp 12 - Năm cuối ở cấp tiểu học, năm học quan trọng nhất trong đời học sinh trải qua bao năm học tập, bao nhiêu kì vọng của người thân xung quanh ta. Những nỗi lo về thi đại học và định hướng tương lai thật là nặng. Hãy tin vào bản thân là mình sẽ làm được rồi tương lai mới chờ đợi các em!

Nguồn : ADMIN :))

Copyright © 2021 HOCTAP247