a) Ta có: $BO = OM \, (gt)$

$AO = OD \, (gt)$

$\Rightarrow ABDM$ là hình bình hành

Ta lại có: $\widehat{A} = 90^o$

$\Rightarrow ABDM$ là hình chữ nhật

b) Do $ABDM$ là hình chữ nhật

nên $DB = AM; \, DB//AM$

hay $DB = MC; \, DB// MC$ $(M\in AC; \, AM = MC)$

$\Rightarrow BDCM$ là hình bình hành

$\Rightarrow BM//CD$

c) Ta có: $H=BC\cap DM$

$\Rightarrow BH=HC; \, DH=HM$

Ta lại có: $BO = OM \, (gt)$

$\Rightarrow OH$ là hình bình hành của $ΔBMC$

$\Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}MC$

mà $MC = \dfrac{1}{2}AC$

$\Rightarrow OH = \dfrac{1}{4}AC$

Ta có: $HB = HC$

$\Rightarrow H$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}BC$

d) Ta có: $OH//MC$

$\Rightarrow OK//AC$

mà $AO=OD$

$\Rightarrow DK=KC$ (tính chất đừng trung bình)

Ta lại có: $AM=MC$

$\Rightarrow KM$ là đường trung bình

$\Rightarrow KM//AD;\, KM=\dfrac{AD}{2}=OD$

$\Rightarrow KMOD$ là hình bình hành

Bên cạnh đó: $OM = OD$ ($ABDM$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow KMOD$ là hình thoi

d) Ta có: $OK = \dfrac{1}{2}AC$ (tính chất đường trung bình)

$DM = AB$ ($ABDM$ là hình chữ nhật)

$ODKM$ là hình vuông

$\Leftrightarrow OK = DM$

$\Leftrightarrow AB = \dfrac{1}{2}AC$