a)

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$, ta có:

+  $AM$ là cạnh chung

+  $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (vì $AM$ là phân giác $\widehat{BAC}$)

+  $AB=AC$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Nên $\Delta AMB=\Delta AMC\left( c.g.c \right)$

 

b)

Xét $\Delta AME$ vuông tại $E$ và $\Delta AMF$ vuông tại $F$, ta có:

+  $AM$ là cạnh chung

+  $\widehat{EAM}=\widehat{FAM}$ (vì $AM$ là phân giác $\widehat{BAC}$)

Nên $\Delta AME=\Delta AMF\left( ch-gn \right)$

Do đó $ME=MF$

Vậy $\Delta MEF$ cân tại $M$

 

c)

Vì $\Delta AME=\Delta AMF\left( cmt \right)$

Nên $AE=AF$ (hai cạnh tương ứng)

Do đó $\Delta AEF$ cân tại $A$

Có $AM$ là đường phân giác

Nên $AM$ cũng đồng thời là đường trung trực

Vậy $AM\bot EF$

 

d)

Ta có:

+  $\widehat{IBE}+\widehat{IEB}=90{}^\circ $

+  $\widehat{ACB}+\widehat{AKE}=90{}^\circ $

Mà $\widehat{IBE}=\widehat{ACB}$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

Nên $\widehat{IEB}=\widehat{AKE}$

Mà $\widehat{IEB}=\widehat{AEK}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{AKE}=\widehat{AEK}$

$\Rightarrow \Delta AME$ cân tại $A$

$\Rightarrow AK=AE$

Mà $AE=AF$ (vì $\Delta AEF$ cân tại $A$)

Nên $AK=AF$

Vậy $A$ là trung điểm của $KF$