1) Xét $ΔABD$ và $ΔEBD$ có:

$\widehat{ABD} = \widehat{EBD} \, (gt)$

$AB = BE \, (gt)$

$BD:$ cạnh chung

Do đó $ΔABD = ΔEBD \, (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{BAD} =\widehat{BED}$ (hai góc tương ứng)

mà $\widehat{BAD} = 90^o \, (gt)$

nên $\widehat{BED} = 90^o$

$\Rightarrow DE\perp BE$

hay $DE\perp BC$

2) Ta có: $ΔABD = ΔEBD$

$\Rightarrow AD = DE$

mà $AB = BE \, (gt)$

$\Rightarrow BD$ là đường trung trực của $AE$ (định lý 2)

3) Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABD$ vuông tại $A$, ta được:

$BD^2 = AB^2 + AD^2$

$\Rightarrow AD^2 = BD^2 - AB^2 = 5^2 - 3^2 = 16$

$\Rightarrow AD = 4 \, cm$

Ta có: $ΔABD = ΔEBD$

$\Rightarrow AD = DE$

$\Rightarrow DE = 4 \,cm$

4) Sửa đề: $K \in$ tia đối của tia $AB$

Xét $ΔAKD$ và $ΔECD$ có:

$\widehat{DAK} = \widehat{DEC} = 90^o$

$AK = CE \, (gt)$

$AD = DE \, (ΔABD = ΔEBD)$

Do đó $ΔAKD=ΔECD \, (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{ADK} = \widehat{EDC}$ (hai góc tương ứng)

mà $A, D, C$ thẳng hàng

nên $K, D, E$ thẳng hàng

5) Ta có: $AK = EC \, (gt)$

$AB = EB \, (gt)$

$\Rightarrow AB + AK = EB + EC$

$\Leftrightarrow BK = BC$

Xét $ΔBKC$ có:

$BK = KC \, (cmt)$

Do đó $ΔBKC$ cân tại $B$

6) Xét $ΔBKC$ cân tại $B$ có:

$KE\perp BC$

$CA\perp BK$

$D = KE\cap CA$

$\Rightarrow D$ là trực tâm của $ΔBKC$

$\Rightarrow BD$ là đường cao ứng với cạnh $KC$

$\Rightarrow BD$ là trung tuyến ứng với cạnh $KC$

mà $HK = HC$

$\Rightarrow BH$ là trung tuyến ứng với cạnh $KC$

Do đó $B,D,H$ thẳng hàng

7) Ta có: $ΔBKC$ cân tại $B$

$\Rightarrow \widehat{KCB} = \dfrac{180^o - \widehat{ABC}}{2}$

Ta lại có: $AB = BE \, (gt)$

$\Rightarrow ΔBAE$ cân tại $B$

$\Rightarrow \widehat{AEB} = \dfrac{180^o - \widehat{ABC}}{2}$

Do đó $\widehat{KCB} = \widehat{AEB}$

$\Rightarrow AE//KC$

8) Ta có: $AI\perp BC \, (gt)$

$DE\perp BC$ (câu 1)

$\Rightarrow AI//DE \, (\perp BC)$

$\Rightarrow \widehat{IAE} = \widehat{DEA}$ (so le trong)

Ta lại có:

$AD = DE \, (ΔABD = ΔEBD)$

$\Rightarrow ΔDEA$ cân tại $D$

$\Rightarrow \widehat{DAE} = \widehat{DEA}$

Do đó $\widehat{DAE} = \widehat{IAE} \, (=\widehat{DEA})$

$\Rightarrow AE$ là phân giác của $\widehat{CAI}$

9) $I$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow AI$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$

mà $AI$ là đường cao ứng với cạnh $BC \, (gt)$

nên $ΔABC$ cân tại $A$

Ta lại có: $ΔABC$ vuông tại $A \, (gt)$

Vậy $ΔABC$ vuông cân tại $A$