Đáp án:

$h_{ABCD.A'B'C'D'} = d(B';(A'BD)) = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $O$ là giao điểm của $AB$ và $BD$

$\Rightarrow A'O\perp (ABCD) \, (gt)$

Gọi $M$ là trung điểm của $AD$

$\Rightarrow OM\perp AD$

Ta có: $A'O$ chung; $OD = OA$ ($ABCD$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow A'A = A'B$

$\Rightarrow ΔA'AB$ cân tại $A'$

$\Rightarrow A'M \perp AD$

Xét hai mặt phẳng $(ADD'A')$ và $(ABCD)$ có:

$\begin{cases}(ADD'A') \cap (ABCD) = AD\\A'M \subset (ADD'A')\\A'M \perp AD \, (cmt)\\OM \subset (ABCD)\\OM \perp AD\end{cases}$

$\\\Rightarrow \widehat{((ADD'A');(ABCD))} = \widehat{A'MO} = 60^o$

$\Rightarrow A'O = OM\sqrt{3}$

mà $OM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}$ (tính chất đường trung bình)

nên $A'O = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Ta có: $B'D'//BD$

$\Rightarrow B'D'//(A'BD)$

$\Rightarrow d(B';(A'BD)) = d(B'D';(A'BD)) = d(O';(A'BD))$ $(1)$

Với $O'$ là giao điểm của $A'C'$ và $B'D'$

Mặt khác: $O'C//A'O$

$\Rightarrow O'C//(A'BD)$

$\Rightarrow d(O';(A'BD)) = d(C;(A'BD))$

Từ $C$ kẻ $CH\perp BD$

Ta có: $A'O\perp (ABCD)$

$\Rightarrow A'O\perp CH$

mà $CH\perp BD$ (cách dựng)

nên $CH\perp (A'BD)$

$\Rightarrow CH = d(C;(A'BD))$ $(2)$

$(1)(2) \Rightarrow d(B';(A'BD)) = CH$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$

$\Rightarrow BD = 2a$

Ta có: $CD.BC = CH.BD = 2S_{BCD}$

$\Rightarrow CH = \dfrac{BC.CD}{BD} = \dfrac{a\sqrt{3}.a}{2a} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy $d(B';(A'BD)) = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$